Третье уравнение Максвелла

Для того чтобы получить третье уравнение Максвелла, используем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

(2.14)

Выполним операцию дивергенция с левой и правой частью уравнения (2.14):

(2.15)

Рассмотрим дифференциальные операции правой части уравнения (2.15):

(2.16)

При записи формулы (2.15) использованы свойства смешанного произведения векторов, а также то, что векторное произведение одинаковых векторов равно нулю.

Подставляем формулу (2.16) в формулу (2.15) и получаем:

(2.17)

Так как дивергенция является операцией дифференцирования по координатам, которые, как и время, являются независимыми переменными величинами, то операции дивергенции и производной по времени можно поменять местами:

(2.18)

Из формулы (2.18) следует, что:

(2.19)

Значение в формуле (2.19) определяется из начальных условий. За начальные условия можно выбрать такие точки пространства, в которых нет магнитного поля в начальный момент времени. Тогда значение будет равно нулю:

(2.20)

Подставляем формулу (2.20) в формулу (2.19) и получаем третье уравнение Максвелла, которое имеет вид:

(2.21)

Третье уравнение Максвелла (2.21) утверждает, что внутри окрестности некоторой точки в магнитном поле не происходит разрыва вектора индукции магнитного поля. Другими словами, у линий вектора индукции магнитного поля нет ни начала, ни конца, они замкнуты.

Получим интегральную форму записи третьего уравнения Максвелла. Для этого умножим выражение (2.21) на элемент объема и проинтегрируем по всему объему:

(2.22)

Теперь воспользуемся теоремой Гаусса, согласно которой получаем:

(2.23)

В формуле (2.23) - замкнутая поверхность, ограничивающая выделенный объем, - проекция вектора индукции магнитного поля на нормаль к замкнутой поверхности .

Объединяя результаты формул (2.22) и (2.23), получаем третье уравнение Максвелла в интегральной форме:

(2.24)

Интегральная форма третьего уравнения Максвелла имеет такой же смысл, как и дифференциальная форма, но она относится не к точке, а к некоторому конечному объему. По сути, это уравнение показывает: сколько линий индукции магнитного поля «заходит» в некоторый выделенный объем, столько же и «выходит» из этого объема. Линии вектора индукции магнитного поля нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Они замкнуты.

Здесь вместо понятия «силовые линии» используется понятие линии вектора индукции или вектора напряженности. Это более точное понятие, особенно, если рассматривается магнитное поле, в котором линии индукции определяется не силой, а моментом силы.

Третье уравнение Максвелла можно записать, как обобщение опытного факта, что линии индукции магнитного поля замкнуты. Для этого достаточно этот факт записать с помощью векторного анализа.