Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Система нелінійних рівнянь




На відміну від СЛАР для систем нелінійних рівнянь (СНР) не існує прямих методів розв’язку, а тому їх розв’язують лише ітераційними способами. В загальній формі СНР записується так:

 

, (6.3)

 

або в векторній формі , де Х – вектор невідомих, – вектор-функція.

Для одержання ітераційної формули створення процесу прямої ітерації приведемо систему (6.3) до вигляду:

 

що в векторній формі записують .

Задавши початкове значення вектора невідомих , одержуємо ітераційний процес: і т.д., допоки різниця норм векторів Х на сусідніх ітераціях не стануть менше наперед заданого малого числа e:

 

.

 

Недоліком таких процесів є те, що початкове значення потрібно вибирати лише в зоні збіжності поблизу точки розв’язку. Цю зону визначають із фізичних властивостей процесів чи об’єктів, режим роботи яких описується даною системою нелінійних рівнянь. В двовимірному просторі зону збіжності можна визначати графічно.

Наступним обмеженням застосування метода прямої ітерації є те, що для створення збіжного ітераційного процесу перетворення потрібно здійснити таким чином, щоб

 

 

Наведемо приклад розв’язку СНР для двох невідомих:

 

 

 

 

Найбільшого поширення в інженерній практиці при розв’язуванні СНР набув метод Ньютона, який має ряд переваг перед іншими ітераційними методами. В першу чергу – це його значна швидкість збіжності. Для побудови ітераційного процесу за цим методом вектор-функцію розкладемо в n -вимірному просторі в ряд Тейлора:

 

 

Згідно (6.3) . Далі в цьому ряду

– вектор-функція, розміщена в зоні збіжності;

– матриця Якобі, яка складається із елементів, що являють собою частинні похідні від усіх рівнянь системи по усім невідомим;

e – вектор-нев’язка, яка наближає вектор до точки розв’язку системи; – матриця Гессе, що складається із частинних похідних другого порядку. В двовимірному випадку маємо ці вектори на рисунку 26.

 

Рисунок 26 – Геометрична інтерпретація метода Ньютона

 

Враховуючи ітераційний процес, залишимо в ряду лише два перших елемента і одержимо значення вектора e:

 

 

Звідси ітераційна формула буде мати вигляд:

 

або:

.

 

Таким чином ітераційний процес по методу Ньютона реалізуються схемою: і т.д.

Метод збігається до точки розв’язку дуже швидко (2-3 ітерації), але і для нього існує проблема вибору початкового вектора .

Застосуємо метод для попередньої задачі.

 

 

Перевіримо, розв’язок інструментарієм системи MathCad:





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 553 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Победа - это еще не все, все - это постоянное желание побеждать. © Винс Ломбарди
==> читать все изречения...

2218 - | 2049 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.