Уточнення кореня методом дотичних (Ньютона)

Якщо метод хорд лінеаризував функцію хордою, метод Ньютона лінеарізує її дотичною в точці a або b (рисунок 24).

Рисунок 24 – Графічне представлення методу дотичних

При використанні цього методу дуже важливо правильно вибрати точку (a або b) його застосування. Як видно із рисунка 24 дотична з точки А буде наближати точку а до кореня, чого зовсім не можна сказати про дотичну в точці В. Точкою цього процесу потрібно вибрати ту із них, для якої знак функції та знак другої її похідної співпадають: .

Для виведення ітераційної формули для цього методу розкладено в ряд Тейлора функцію в точці кореня:

де – величина на осі ОХ, що наближає початкову точку (a або b) до кореня .

Враховуючи ітераційний процес, залишимо в ряду лише два перші члени: . Нуль в лівій частині рівності записаний тому, що в точці кореня . Звідси . А нове наближення кореня .

Враховуючи знак другої похідної в точках a або b, вибираємо для інтерполяційного процесу по цьому методу одну з формул:

або .

Далі наводимо застосування метода: