Етапи відокремлення коренів

На цьому етапі для отримання значень відрізків , на яких розміщений єдиний корінь можуть застосовуватися:

а) аналітичні методи;

б) режим табулювання функції ;

в) графічний метод.

 

6.2.1. Аналітичні методи порівняно просто застосовувати для алгебраїчних рівнянь. Нижню та верхню межу всіх коренів для таких рівнянь можна визначити з допомогою правила кільця:

Нехай

тоді всі корені знаходяться в кільці , де .

Розглянемо правило для рівняння

; ; ; .

Таким чином, всі додатні корені даного рівняння знаходяться в діапазоні , а від’ємні в інтервалі .

Для трансцендентних рівнянь аналітичний метод відокремлення коренів має таку послідовність:

а) знаходять область існування коренів;

б) обчислюють і визначають критичні точки ;

в) записують інтервали, для яких ;

г) досліджують знаки функції на кінцях інтервалів;

д) виписують відрізки ізоляції коренів.

 

Наприклад, маємо рівняння :

а) область існування функції: ;

б)

х	0,5		1,5
	-		+

в)

 

 

г)

Отже, рівняння має два кореня в інтервалах та .

6.2.2. Аналітичний спосіб отримання меж відокремлення коренів дає досить широкі інтервали . А тому їх в подальшому уточнюють методом табуляції або графічним методом.

Табулювання функції заключається в послідовному аналізі зміни знака функції в деякому інтервалі зміни х (найчастіше з постійним кроком). В тих місцях, де функція змінює свій знак, повинен бути корінь. По критерію (6.2) уточнюють його відокремленість.

Застосуємо принцип табуляції для рівняння .

Раніше ми вияснили, що всі корені цього рівняння знаходяться в інтервалі . Табулюємо цей діапазон з кроком :

 

х	-4	-3	-2	-1
у	-	-	-	+	+	-	-	+	+

 

Отже, маємо один від’ємний корінь в інтервалі та два додатніх в інтервалах та .

Для розглянутого раніше трансцендентного маємо:

 

х	0,01	0,5		…		2,5		3,5
у	-	+	+	+	+	+	-	-

 

Тут два кореня в діапазонах та .

6.2.3. Графічний метод відокремлення коренів дає наочне представлення знаходження коренів рівняння. Найчастіше при реалізації цього методу функцію представляють у вигляді таким чином, щоб порівняно легко можна було на координатній площині зобразити графіки та . Тоді точка перетину цих графіків буде давати наближене значення кореня. Вибравши ліворуч та праворуч від такої точки перетину точки a та b, перевіряють знаходження всередині кореня по критерію (6.1) і можна переходити до його уточнення. На рисунку 21 зображені точки перетину графіків та для першого розглянутого прикладу, та і для другого.

 

Рисунок 21 – Графічний спосіб відокремлення коренів