1. Находим область определения функции f (x).
2. Вычисляем пределы функции f (x) в тех точках, которые являются
конечными границами интервалов области определения.
3. Записываем уравнения вертикальных асимптот, если они существуют.
4. Вычисляем пределы (1).
5. Записываем уравнение наклонной асимптоты, если она существует.
Пример 5. Найти асимптоты кривой f (x) = - х2/(x + 2).
1. Область определения - (-¥, -2) 
(-2, +¥).
2. l i m - х2/(x + 2) = ± ¥.
х ® - 2 ± 0
3. Вертикальная асимптота х = - 2.
4. Наклонная асимптота у = kx + b:
k = 
= - 
,
b= 
= 
.
5. Наклонная асимптота у = - х + 2 или у = 2 - х.
2.8. Общий план исследования функций и построения графиков
Под „исследованием функции” обычно понимается разыскание:
1) естественной области существования функции;
2) точек разрыва функции;
3) интервалов возрастания и убывания функции;
4) точек максимума и минимума, а также максимальных и минимальных значений функции;
5) областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба;
6) асимптот графика функции;
7) точек пересечения с осями.
После проведенного исследования или параллельно с ним на чертеже проводят асимптоты, отмечают точки экстремумов и экстремальные значения, точки перегиба и строят эскиз графика функции.
Замечание 1. Если исследуемая функция y=f (x) четная, т. е. такая, что при изменении знака аргумента значение функции не изменяется, т. е. если f (-x)=f (x), то достаточно исследовать функцию и построить график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции. При отрицательных значениях аргумента график функции строится на основании, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.
Замечание 2. Если функция y=f (x) нечетная, т.е. такая, что при изменении аргумента функции меняется знак, т.е. если f (-x) = -f (x), то эту функцию достаточно исследовать при положительных значениях аргумента. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Замечание 3. Так как значение одних свойств функции позволяет сделать вывод о других ее свойствах, то иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции. Так, например, если мы выяснили, что заданная функция непрерывна и дифференцируема, и нашли точки максимума и минимума этой функции, то тем самым мы уже определили и область возрастания и убывания функции.
Замечание 4. Если исследуемая функция периодическая, то достаточно исследовать и строить ее график на отрезке, длина которого равна периоду.
Замечание 5. Если в окрестности критической точки х = х0 f΄(x0) = f˝(x0)=0, но функция f (x) имеет n последовательных проиводных и n–я производная в точке х = х0 непрерывна, то справедливо следующее правило:
Если из производных, не обращающихся в точке х0 в ноль, первой оказывается производная нечетного порядка, то функция не имеет в точке х0 ни максимума, ни минимума. Если таковой производной является производная четного порядка, функция в точке х0 имеет максимум или минимум, смотря по тому будет ли эта производная отрицательна или положительна.
Пример 6. Провести полное исследование функции 
.
1. Область определения: 
, х =2 –точка разрыва функции;
2. Определим пределы функции слева и справа от точки разрыва 
= 
= - ∞; 
= 
= ∞. Значит х=2 - вертикальная двустороняя асимптота.
3. Найдем критические точки функции:
а) 
= 
= 
,
б) 
.
Следовательно, х1 = 0, х2 = 4, х3 = 2 (в этой точке производная не существует).
4. Найдем интервалы монотонности функции:
| х | (-¥;0) | (0;2) | (2;4) | (4;¥) | |||
| Sign [f¢(x)] | + | - | ? | - | + | ||
| Поведение f(x) | | ¯ | ±¥ | ¯ | |
5. Из приведенной таблицы видно, что точка х = 0 – точка максимума, а
точка х = 4 – минимума функции.
6. Для определения направления выпуклости и вогнутости графика функции
вычислим вторую производную
а) 
= 
= 
,
б) 
= 0.
Очевидно, нет ни одного значения х при котором вторая производная обращается в ноль, но в точке х = 2 производная не существует.
| х | (-¥;2) | (2;¥) | |
| Sign [f¢¢(x)] | - | ? | + |
| Поведение f(x) | выпуклая | ±¥ | вогнутая |
7. Найдем наклонные асимптоты графика функции (вертикальная асимптота была найдена в пункте 2):
k = 
= 
, b= 
= 
.
И уравнение наклонной асимптоты примет вид у = х + 2.
8. Точки пересечения графика функции с осями координат: при х = 0, у = 0.
у
 |
х
-2 0 2 4
Рис.4
9. После проведенного исследования выполняем эскиз графика (рис.4)
