Определение 2

Функция f(x) в точке x ₁ имеет максимум (maximum), если f(x ₁ + ∆x) < f(x ₁ ) при любых ∆x (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине, т.е. если значение функции f(x) в точке x ₁ больше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x ₁.

Определение 3

Функция f(x) имеет минимум (minimum) при x=x ₂, если f(x ₂ +∆x) > f(x ₂ ) при любых ∆x – как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине.

В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства.

1. Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях x, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

2. Не следует думать, что максимум и минимум функции являются соответственно ее наибольшими и наименьшими значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума – наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами или экстремальными значениями функции.

Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке [ а, b ] в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента.

Ниже будет указан метод нахождения экстремальных значений.

Теорема 3 (необходимое условие существования экстремума)

Если дифференцируемая функция y= f(x) имеет в точке x=x ₁ максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f'(x) =0.

Доказательство. Предположим для определенности, что в точках x=x₁ функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютному значению приращениях ∆x (∆x≠0) имеет место f(x₁+ ∆x) < f(x₁), т.е. f(x₁+ ∆x) - f(x₁) < 0. Но в таком случае знак отношения

определяется знаком ∆ x, а именно:

> 0, при ∆ x <0,

<0, при ∆ x <0.