f'(x) = 
.
Если f(x) имеет производную при x=x1, то предел, стоящий справа, не зависит от того, как ∆x стремиться к нулю (оставаясь положительным или отрицательным).
Но ∆ x →0, оставаясь отрицательным, то f'(x 1 ) > 0. Если же ∆ x →0, оставаясь положительным, то f'(x 1 ) < 0.
Так как f'(x 1 ) есть определенное число, не зависящее от способа стремления ∆ x к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если f'(x 1 )= 0.
Аналогичным образом теорема доказывается и для случая минимума функции.•
Следствие. Если при всех рассматриваемых значениях аргумента x функция f(x) имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует максимум и минимум.
Бывают случаи, когда в точке производной не существует. В таких точках может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого.
Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю, либо в тех точках, где производная не существует. Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит разрыв. Значение аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.
Из предыдущего следует, что не при всяком критическом значении функция имеет максимум или минимум. Однако, если в какой-либо точке функция достигает минимума или максимума, то эта точка наверняка является критической. Поэтому для разыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума.
Исследование функции в критических точках опирается на следующие теоремы.
Теорема 4 (достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x1). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x=x1 функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x1 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.
Таким образом, если а) f'(x) >0 при x< x1, f'(x) <0 при x> x1, то в точке x1 функция имеет максимум
если б) f'(x) <0 при x< x1, f'(x) >0 при x> x1, то в точке x1 функция имеет минимум.
При этом надо иметь в виду, что условия а) или б) должны выполнятся для всех значений x, достаточно близких к x1, т.е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки x1. Таким образом, всякая точка экстремума является критической точкой. Обратное, вообще говоря, неверно. Критическая точка функции, в которой f'(x) = 0 называется стационарной.
