Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—огласно определению производной имеем




f'(x) = .

≈сли f(x) имеет производную при x=x1, то предел, сто€щий справа, не зависит от того, как ∆x стремитьс€ к нулю (остава€сь положительным или отрицательным).

Ќо ∆ x →0, остава€сь отрицательным, то f'(x 1 ) > 0. ≈сли же ∆ x →0, остава€сь положительным, то f'(x 1 ) < 0.

“ак как f'(x 1 ) есть определенное число, не завис€щее от способа стремлени€ ∆ x к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если f'(x 1 )= 0.

јналогичным образом теорема доказываетс€ и дл€ случа€ минимума функции.Х

—ледствие. ≈сли при всех рассматриваемых значени€х аргумента x функци€ f(x) имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значени€х, при которых производна€ обращаетс€ в нуль. ќбратное заключение неверно: не при вс€ком значении, при котором производна€ обращаетс€ в нуль, об€зательно существует максимум и минимум.

Ѕывают случаи, когда в точке производной не существует. ¬ таких точках может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого.

“аким образом, функци€ может иметь экстремум лишь в двух случа€х: либо в тех точках, где производна€ существует и равна нулю, либо в тех точках, где производна€ не существует. «аметим, что если производна€ не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производна€ терпит разрыв. «начение аргумента, при которых производна€ обращаетс€ в нуль или терпит разрыв, называютс€ критическими точками или критическими значени€ми.

»з предыдущего следует, что не при вс€ком критическом значении функци€ имеет максимум или минимум. ќднако, если в какой-либо точке функци€ достигает минимума или максимума, то эта точка наверн€ка €вл€етс€ критической. ѕоэтому дл€ разыскани€ экстремумов функции поступают следующим образом: наход€т все критические точки, а затем, исследу€ отдельно каждую критическую точку, вы€сн€ют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума.

»сследование функции в критических точках опираетс€ на следующие теоремы.

“еорема 4 (достаточные услови€ существовани€ экстремума)

ѕусть функци€ f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x1). ≈сли при переходе слева направо через эту точку производна€ мен€ет знак с плюса на минус, то при x=x1 функци€ имеет максимум. ≈сли же при переходе через точку x1 слева направо производна€ мен€ет знак с минуса на плюс, то функци€ имеет в этой точке минимум.

 

“аким образом, если а) f'(x) >0 при x< x1, f'(x) <0 при x> x1, то в точке x1 функци€ имеет максимум

если б) f'(x) <0 при x< x1, f'(x) >0 при x> x1, то в точке x1 функци€ имеет минимум.

ѕри этом надо иметь в виду, что услови€ а) или б) должны выполн€тс€ дл€ всех значений x, достаточно близких к x1, т.е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки x1. “аким образом, вс€ка€ точка экстремума €вл€етс€ критической точкой. ќбратное, вообще говор€, неверно.  ритическа€ точка функции, в которой f'(x) = 0 называетс€ стационарной.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 733 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

“ак просто быть добрым - нужно только представить себ€ на месте другого человека прежде, чем начать его судить. © ћарлен ƒитрих
==> читать все изречени€...

2286 - | 2033 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.