Теорема (Ролля)

Замечание 1. Эта теорема остается справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка [ a, b ] не обращается в нуль, но

принимает равные значения f(a)=f(b).

у М     Р х а с 0 d в   Рис.1

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [ a, b ] и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка равные значения, существует точка М(с; f(x)), в которой касательная паралельна оси Ох (рис.1). На рис.1 таких точек две М и Р.

Замечание 2. Если функция f (x) такова, что производная существует не во всех точках внутри отрезка [ a, b ], то утверждение теоремы может оказаться неверным (т.е. в этом случае на отрезке [ a, b ] может не оказаться такой точки с, в которой производная f'(x) обращается в нуль).

Пример 1. Установить, удовлетворяет ли условиям теоремы Ролля функция f (x) = на отрезке [-1;1].

Решение. Функция f (x) = непрерывна на всей числовой прямой,

у     х -1 0 1     Рис.2

следовательно, и на отрезке [-1;1]. На концах отрезка принимает равные значения f (-1) = f (1). Однако производная f ′(x)= 2/(3 ) внутри промежутка (-1;1) в нуль не обращается. Это происходит оттого, что внутри промежутка существует точка х = 0, в которой производная не существует (обращается в бесконечность) - рис.2.

1.2 Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)

Теорема (Лагранжа)

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [ a, b ] найдется по крайней мере одна точка х=с, a<c<b, что f(b) - f(a)=f'(c)(b - a).

у М2     М1 α х а 0 с в   Рис.3

Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис.3). Величина (f(b) - f(a))/ (b - a) = ВМ 2/ BM 1= tg α = f'(c) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки М 1(а; f(a)) и М 2(а; f(в)) графика функции у = f (x) в точке (с; f(с)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует, по крайней мере, одна точка х = с такая, что касательная к графику в точке (с; f(с)) параллельна секущей.

Отметим далее следующее.

1. Так как значение с удовлетворяет условию a<c<b, то c - a<b - a, или c - a=θ(b - a), где θ есть некоторое число, заключенное между 0 и 1, т. е. 0<θ<1. Но тогда c = a+ θ(b-a), и формула (1) можно придать следующий вид:

f (b) - f (a)=(b - a) f' [a+θ(b - a)], 0<θ<1.

2. Если положить в формуле Лагранжа а = х, в = х + Δх, то получим

f (х + Δх) - f (х)= f' (с) Δх,

где точка с лежит между х и х + Δх. Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобной для доказательства многих формул и теорем анализа.

Пример 2. Проверить удовлетворяет ли функция f (х) = 2х – х² условиям теоремы Лагранжа на отрезке [1, 3].

Решение. Функция f (х) = 2х – х² удовлетворяет теореме Лагранжа, так как она непрерывна и имеет конечную производную f'(х) = 2 – 2х в каждой точке отрезка [1, 3]. По теореме между точками х₁ = 1 и х₂ = 3 существует точка х = с, удовлетворяющая равенству f (3) - f (1)= f' (с) (3-1);

f (3) = 2×3 – 3² = -3, f (1) = 2×1 – 1² = 1, f' (с)= 2 – 2с. Равенство Лагранжа примет вид -3 – 1 = (2 – 2с) ×2. Следовательно, с = 2.

1.3. Теорема об отношении приращений двух функций

(теорема Коши)

Теорема (Коши)

Если f (x) и φ (x) – две функции, непрерывные на отрезке [ a, b ] и дифференцируемы внутри него, причем φ' (x) нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [ a, b ] найдется такая точка х = с, a<c<b, что

Замечание. Теорему Коши нельзя доказать, как это может показаться с первого взгляда, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби

Действительно, мы получили бы в этом случае (после сокращения дробина

(b – a)) формулу

в которой a<c₁<b, a<c₂<b. Но так как вообще говоря, с₁≠с₂, то получаемый результат, очевидно, не дает еще теоремы Коши.

§2. Исследование функций с помощью производной