Возрастание и убывание функции

Определение 1

Функция у = f (x) называется возрастающей (убывающей) в интервале (а,b), если из х₁ < х₂, где х₁, х₂ Î (а, b) следует f (х₁) < f (х₂) (соответственно f (х₁) > f (х₂)).

Теорема 1

1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] не отрицательна, т. е. f'(x)>0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируемая в промежутке (a, b), причем f'(x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке [а, b].

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f(x) возрастает на отрезке [ a, b ]. Придадим аргументу x приращение ∆ x и рассмотрим отношение

Так как f(x) - функция возрастающая, то f(x+∆ x) > f(x) при ∆ x >0 и f(x+ ∆x) < f(x) при ∆x >0. В обоих случаях

> 0

а, следовательно,

> 0

т. е. f'(x) >0, что и требовалось доказать. (Если бы было f'(x)< 0, то при достаточно малых значениях ∆x отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2).)

Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f'(x) >0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a, b).

Рассмотрим два любых значения x ₁и x ₂, x ₁ < x _2, принадлежащих отрезку

[ а, b ]. По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем

f(x ₂ ) - f(x ₁ ) = f' (x) (x ₂ – x ₁ ), x ₁< x < x ₂.

По условию f' (x)>0, следовательно, f(x ₂ ) - f(x ₁ ) >0, а это и значит, что f(x)‒ возрастающая функция.•

Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции, а именно: если f(x) убывает на отрезке [ а, b ], то f'(x) < 0 на этом отрезке. Если f'(x) <0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [ а, b ]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [ а, b ] и дифференцируема всюду на (a, b).)

Замечание. Доказанная теорема выражает следующий геометрический факт. Если на отрезке [ а, b ] функция f(x) возрастает, то касательная к кривой y= f(x) в каждой точке на этом отрезке образует с осью 0х острый угол или горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен. Если функция y= f(x) убывает на отрезке [ а, b ], то угол наклона касательной ‒ тупой (или (в отдельных точках) касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен.

В простейших случаях область определения функция f (x) разбивается на конечное число интервалов монотонности (кусочно монотонная функция). Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует.