Определение 1
Функция у = f (x) называется возрастающей (убывающей) в интервале (а,b), если из х1 < х2, где х1, х2 Î (а, b) следует f (х1) < f (х2) (соответственно f (х1) > f (х2)).
Теорема 1
1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] не отрицательна, т. е. f'(x)>0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируемая в промежутке (a, b), причем f'(x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке [а, b].
Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f(x) возрастает на отрезке [ a, b ]. Придадим аргументу x приращение ∆ x и рассмотрим отношение
Так как f(x) - функция возрастающая, то f(x+∆ x) > f(x) при ∆ x >0 и f(x+ ∆x) < f(x) при ∆x >0. В обоих случаях
> 0
а, следовательно,
> 0
т. е. f'(x) >0, что и требовалось доказать. (Если бы было f'(x)< 0, то при достаточно малых значениях ∆x отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2).)
Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f'(x) >0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a, b).
Рассмотрим два любых значения x 1и x 2, x 1 < x 2, принадлежащих отрезку
[ а, b ]. По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем
f(x 2 ) - f(x 1 ) = f' (x) (x 2 – x 1 ), x 1< x < x 2.
По условию f' (x)>0, следовательно, f(x 2 ) - f(x 1 ) >0, а это и значит, что f(x)‒ возрастающая функция.•
Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции, а именно: 
если f(x) убывает на отрезке [ а, b ], то f'(x) < 0 на этом отрезке. Если f'(x) <0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [ а, b ]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [ а, b ] и дифференцируема всюду на (a, b).)
Замечание. Доказанная теорема выражает следующий геометрический факт. Если на отрезке [ а, b ] функция f(x) возрастает, то касательная к кривой y= f(x) в каждой точке на этом отрезке образует с осью 0х острый угол или горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен. Если функция y= f(x) убывает на отрезке [ а, b ], то угол наклона касательной ‒ тупой (или (в отдельных точках) касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен.
В простейших случаях область определения функция f (x) разбивается на конечное число интервалов монотонности (кусочно монотонная функция). Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
