Оценка истинного значения измеряемой величины по результатам эксперимента. Понятие случайной величины и вероятностного распределения

Предварительное ознакомление с классификацией погрешностей показывает, что измерение любой физической величины a необходимо проводить многократно.

Допустим, что проведена серия n независимых, одинаково тщательных, прямых измерений, в результате которых получены значения x ₁, x ₂, x ₃,... x_n физической величины a. Тогда, как правило, наблюдается разброс данных около истинного значения, обусловленный существованием различных случайных факторов. Нанесем на числовую ось полученный ряд значений x ₁, x ₂, x ₃,... x_n в виде черточек (рис. 1а). На числовой оси этот ряд значений займет определенное место, и, очевидно, все значения как-то сгруппируются около искомого истинного значения измеряемой величины, положение которого отмечено вертикальной линией. Задача состоит в том, чтобы по данным x ₁, x ₂, x ₃,... x_n произвести оценку истинного значения измеряемой величины. Для решения этой задачи можно применить законы, установленные теорией вероятности по отношению к многократному повторению случайных явлений. В курсе теории вероятностей доказывается, что самой лучшей оценкой истинного значения является среднее арифметическое из числа измерений:

, (1)

т.е. можно записать, что .

Эта запись означает, что истинное значение измеряемой величины а приближенно, но наилучшим образом оценивается по среднему арифметическому значению . Если повторить опыт, произведя вторую серию измерений, то, очевидно, получится новый ряд значений (рис. 1б), причем полученные значения сгруппируются около истинного, но не повторят картину первой серии измерений.

Поскольку на результат измерений влияют только случайные факторы, то мы не можем утверждать, что наилучшей оценкой а будет то же, что и в первой серии измерений, значение :

.

Вероятнее всего, из расчета получится другое значение , которое, также как и , является наилучшей оценкой а, но в новой серии измерений. Наконец, из результатов третьей серии n измерений (рис. 1в) наилучшей приближенной оценкой истинного значения а будет

Это значение, вообще-то, не совпадает с двумя предыдущими средними значениями измеряемой величины. Таких серий равноточных независимых друг от друга измерений можно провести сколько угодно. Что же в конце концов послужит оценкой величины а? Ведь каждый раз мы будем получать среднее значение , лежащее где-то недалеко от а. Как видно из рис. 1, приближенные оценки всегда более или менее отличаются друг от друга, т.е. испытывают случайное рассеивание, несмотря на кажущуюся неизменность условий в отдельных опытах.

Таким образом, можно сделать очень важный вывод о том, что результат измерения является случайной величиной. Результат каждого отдельного измерения или результат расчета оценки истинного значения невозможно заранее предсказать, однако, это еще не означает, что повторные измерения не обнаруживают никакой закономерности. Закономерность в распределении измерений существуети достаточно хорошо изучена. Она описывается законом нормального распределения
Гаусса [1].

Результаты серии измерений одной величины можно наглядно представить, построив диаграмму, которая показала бы, как часто получались те или иные результаты. Такая диаграмма называется гистограммой. В качестве примера рассмотрим построение гистограммы по данным измерений величины ускорения силы тяжести методом математического маятника.
В табл. 1 приведены средние значения искомой величины g
(с точностью до сотых, всего 112 значений). Результаты измерений распределены по группам в интервале .

 

Таблица 1

Значение g (м/с2) при разбиении по группам	Число измерений в каждом интервале	Относительная доля числа измерений
9,20 – 9,29		0,09
9,30 – 9,39		0,027
9,40 – 9,49		0,035
9,50 – 9,59		0,089
9,60 – 9,69		0,143
9,70 – 9,79		0,188
9,80 – 9,89		0,196
9,90 – 9,99		0,152
10,00 – 10,09		0,089
10,10 – 10,19		0,045
10,20 – 10,29		0,018
10,30 – 10,39		0,009
Всего 112 значений

 

На рис. 2 отчетливо отображена тенденция большинства
измерений группироваться вблизи некоторого значения
измеряемой величины, которое и можно принять за наилучшую оценку истинного значения.

Теперь представим себе, что число измерений неограниченно возросло и стало очень большим. Ширину интервалов можно сделать очень малой, но чтобы в каждом интервале было бы много отсчётов. Если теперь вместо гистограммы построить график, который давал бы относительную долю полного числа измерений , то получится гладкая кривая, называемая кривой распределения.

В рассмотренном примере мы имели дело с последовательностью случайных событий, которые обнаруживают при неограниченном увеличении их числа характерную статистическую устойчивость. Обобщая сказанное, введем понятие случайной величины Х, как переменной величины, принимающей различные значения, зависящие от случайных факторов. На графике по оси абсцисс будем откладывать значения Х ₁, Х ₂, … Х_n, полученные в результате n измерений физической величины, а по оси ординат – частоту появления полученных значений в заданном интервале , приходящуюся на единицу этого интервала. Тогда в пределе при и получим плавную кривую распределения для функции .

Функция P (X) называется плотностью вероятности распределения. Смысл введенной функции P (X) состоит в том, что P (X)^. dX представляет относительную долю полного числа измерений n, приходящуюся на интервал (X, X + dX). Другими словами, P (X)^. dX есть вероятность того, что отдельное значение измеряемой величины находится в пределах интервала (X, X + dX).

На рис. 3 изображена типичная кривая распределения результатов измерения физической величины, причем P (X)^. dX

площадью фигуры, заштрихованной наклонными линиями.

Следовательно, вероятность того, что отдельное значение измеряемой величины окажется в интервале от X ₁ до X ₂, равна и представлена на рис. 3 площадью фигуры, заштрихованной горизонтальными линиями.

Как показывает опыт, в больших совокупностях равноправных объектов, которые называются статистическими ансамблями, существуют присущие им вероятностные распределения (распределение Максвелла для молекул идеального газа, распределение Ферми для электронов в металле, распределение Пуассона для распада радиоактивных атомов, распределение Бозе – Эйнштейна для теплового излучения, распределение Гаусса в случае большого числа измерений). Каждое из этих распределений математически описывается своей функцией плотности вероятности распределения P (X), имеющей конкретный математический вид в зависимости от характера случайной величины.