Функция Грина задач электростатики

Общее решение уравнения Пуассона состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения - и частного решения неоднородного -

На лежит нагрузка удовлетворения граничным условиям, удовлетворяет однородным граничным условиям:

Рассмотрим . Далее будем писать без индекса, т.е. .

Введём некоторый интегральный оператор и

Если , то

- ядро интегрального оператора , т. е. - функция Грина.

Пусть - единичный оператор, т.е. , тогда:

-ядро единичного оператора, это и есть

Итак, на языке ядер выглядит следующим образом:

, есть функция Грина задач электростатики.

определяется характером граничных условий.

1. - частное решение, удовлетворяющее однородному граничному условию Дирихле.

тогда из того, что

2. - граничное условие Неймана

В обоих случаях и

Для