Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида
где p, q − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:
Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:
1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией
где C 1 и C 2 − произвольные действительные числа.
2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k 1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k 1 = α + βi, k 1 = α − βi. Общее решение записывается в виде
11.Линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение
- корни характеристического уравнения.
Общее решение
1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда
Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например 
, решение можно записать в виде
2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например, 
имеет кратность k (остальные - простые), тогда
Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например , решение можно записать в виде
