Уравнением с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f (x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f (x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p (x) и h (y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h (y):

Разумеется, нужно убедиться, что h (y) ≠ 0. Если найдется число x ₀, при котором h (x ₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h (y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

2.Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

f 1(x) dx = f 2(y) dy, (1)

которое называется уравнением с разделенными переменными.

Пусть найдено некоторое его решение y (x). При подстановке y = y (x) в дифференциальное уравнение (1) оно обратится в тождество и, интегрируя его, имеем

∫ f 1(x) dx =∫ f 2(y) dy + C, (2)