Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид

(7)

Подстановка ; ; , где преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

,

,

.

2. 4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, то есть имеет вид .

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида , где и .

Эти уравнения решают с помощью подстановки .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение является уравнением Бернулли. Решим это уравнение с помощью подстановки . Тогда . Подставляя и в уравнение, получим: . Преобразуем это уравнение к виду . Найдем функцию , полагая в последнем уравнении . Тогда (мы нашли одну из первообразных функции ). Подставляя найденную функцию в уравнение относительно и , получим или .

Разделяем переменные и находим функцию :

Возведя в квадрат, находим