Приклади. 1.Знайти диференціал функції f:

1. Знайти диференціал функції f:

а) ; б) , в) .

Розв’язання. Для знаходження диференціала функції використаємо формулу df (х)= .

а) ;

б) ;

в) .

2. Обчислити наближено:

а) ; б) ; в) ; г) .

Розв’язання. а) Для знаходження наближеного значення виразу використаємо формулу (4.8):

= .

б) Використаємо формулу (4.9):

= = » =

=5, 0012.

в) Використовуючи формулу (4.7) для наближених обчислень, одержимо:

.

Покладемо . Тоді або в радіанах .

Отже,

= = » = .

Будемо обчислювати з точністю до четвертого десяткового знаку. Оскільки , , то

» .

г) За формулою (4.7) маємо:

.

Тоді

.

3. Знайти похідну другого порядку функції f:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. Знайдемо послідовно першу, а потім другу похідну:

а) ; .

б) ;

.

в) ;

=

= = .

4. Знайти похідну n -го порядку функції .

Розв’язання. Послідовно знаходимо:

;

;

;

;

.

Аналізуючи знайдені похідні, можна висунути припущення про те, що

.

Це припущення можна довести, використовуючи метод математичної індукції.

5. Для функції знайти .

Розв’язання. Послідовно знаходимо:

;

;

;

.

Тоді за формулою (4.10) маємо:

= .

Завдання для самостійного розв’язування

8. Знайти диференціал функції f:

а) ; б) ; в) ;

9. Не користуючись калькулятором, обчислити наближено:

а) ; б) ; в) ; г) .

10. Для заданої функції знайти похідну вказаного порядку:

а) ; б) ; в) ;

Відповіді:

8. а) ; б) ; в) .

9. а) 1,2; б) 2,0004; в) 0,5151; г) –0,04.

10. а) ; б) ; в) ;