1. Використовуючи означення похідної функції f у точці, знайти похідні функцій:
а) 
; б) 
.
Розв’язання. а) Нехай х – довільна фіксована точка з D (f)= R.
1. Надамо х приросту D х і знайдемо відповідний приріст функції D f (x):
D f (x)= f (x +D х)– f (x)=sin(х +D х)–sin x = 
.
При перетворенні різниці синусів у добуток тригонометричних функцій використано формулу 
.
2. 
= 
.
3. Знайдемо 
:
= 
=
= 
.
При знаходженні 
використано першу чудову границю: 
.
Оскільки х – довільна точка, то = 
для всіх х Î R.
Отже, 
.
б) Нехай х – довільна фіксована точка з D (f)= R.
1. Надамо х приросту D х і знайдемо відповідний приріст функції D f (x):
D f (x)= f (x +D х)– f (x)= 
= 
.
2. = 
.
3. Знайдемо :
= 
.
При знаходженні використано важливу границю: 
.
Внаслідок довільності аргумента х, маємо: = 
для всіх х Î R.
Отже, 
.
2. Довести, що у точці х 0=0 не існує похідна функції 
.
Розв’язання. Знайдемо ліву і праву похідні функції у точці х 0=0:
= 
= 
=
= 
= 
= 
;
= 
= 
= 
.
Оскільки ліва і права похідні функції у точці х 0=0 не дорівнюють одна одній, то в цій точці не існує похідна функції f.
3. Знайти похідні функцій:
а) y =sin x + x 8–2; б) 
+ 
; в) y = x 5ln x; г) y = 
;
д) y =ln(cos x); е) y =arctg x 4; є) y = 
; ж) 
, x >0.
Розв’язання. а) Спочатку використаємо правило 1, а потім формули 5, 2, 1 із таблиці похідних:
= 
– 
=cos x +8 x 7–0= =cos x +8 x 7.
б) Спочатку використаємо правило 1, а потім правило 2.1 та формули 7, 2.1, 2.3, 1 із таблиці похідних:
= 
=
= 
= 
= 
.
в) Спочатку використаємо правило 2, а потім формули 2, 4.1 із таблиці похідних:
= 
=5 x 4×ln x + x 5× 
=5 x 4×ln x + x 4= 
.
г) Використаємо правило 3, а потім формули 10, 2 із таблиці похідних:
= 
=
= 
= 
.
д) Функція y =ln(cos x) є складеною. Її можна записати у вигляді y =ln u, де u =cos x. Для знаходження похідної функції y =ln(cos x) спочатку скористаємося правилом 4: 
, де u = g (x), а потім формулами 4.1, 6 із таблиці похідних. Отже,
.
е) Функція y =arctg x 4 – складена; u = x 4 – внутрішня функція, y =arctg u – зовнішня функція. Для знаходження похідної функції y =arctg x 4 використаємо правило 4 і формули 11, 2 з таблиці похідних:
=
= 
.
При знаходженні похідної складеної функції проміжні етапи, що пов’язані із виділенням внутрішньої і зовнішньої функцій, із знаходженням похідної зовнішньої функції, як правило, не записують у розв’язанні. У цьому разі розв’язання цього завдання буде таким:
= .
є) Для знаходження похідної функції y = спочатку використаємо правило 2, потім правило 4 (для знаходження похідної складеної функції 
) і формули 7, 2.3 з таблиці похідних:
= 
=
= 
= 
.
ж) Функції (x >0) є степенево-показниковою. Тому за правилом 6 маємо:
, x >0.
4. Знайти значення похідної функції 
у точці х 0=0,6.
Розв’язання. Спочатку знайдемо похідну функції f. При знаходженні похідної функції 
врахуємо, що ця функція є складеною.
Отже,
= 
=
= 
.
Тоді 
.
5. Знайти рівняння дотичної, проведеної до графіка функції 
у точці з абсцисою х 0=–2.
Розв’язання. Використаємо рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х 0: 
.
Щоб записати це рівняння знайдемо 
і 
:
;
;
.
Тоді
= 
= 
.
Отже, 
– шукане рівняння дотичної.
6. Знайти рівняння дотичної до графіка функції 
, яка паралельна до прямої 
.
Розв’язання. Виходячи з геометричного змісту похідної, кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції , дорівнює 
. Оскільки шукана дотична є паралельною до прямої , то кутові коефіцієнти цих прямих є однаковими. Враховуючи, що кутовий коефіцієнт k прямої дорівнює –2, маємо:
Û 
Û 
Û х =1.
Отже, якщо до графіка функції f у точці з абсцисою х 0=1 провести дотичну, то вона буде паралельною до прямої . Знайдемо рівняння цієї дотичної.
;
;
= 
.
Отже, 
– шукане рівняння дотичної.
7. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом 
.
а) Знайти швидкість і прискорення точки у момент часу 
(шлях s вимірюється в метрах).
б) Через скільки секунд після початку руху точка зупиниться?
Розв’язання. а) Враховуючи механічний зміст похідної, знайдемо за яким законом змінюється швидкість і прискорення точки:
;
.
Тоді швидкість і прискорення точки у момент часу є такими:
м / с; 
м / с 2.
Від’ємне значення прискорення вказує на сповільнений рух точки.
б) Якщо точка зупинилася, то її швидкість дорівнює нулю. Тому щоб знайти момент часу, коли точка зупиниться, потрібно розв’язати рівняння 
:
Û 
Û 
За змістом задачі від’ємне значення t не підходить. Отже, через 5 с після початку руху точка зупиниться.
8. Обсяг продукції, виробленої бригадою робітників, описується функцією 
(одиниць), 
, де t – робочий час у годинах. Визначити продуктивність праці 
через годину після початку роботи та за годину до її закінчення.
Розв’язання. Враховуючи економічний зміст похідної, знайдемо закон, за яким змінюється продуктивність праці бригади робітників:
= 
.
У задані моменти часу t 1=1 год і t 2=8–1=7 год відповідно маємо таку продуктивність праці бригади робітників:
(одиниць / год);
(одиниць / год).
Як бачимо, наприкінці роботи продуктивність праці бригади робітників зменшується.
Завдання для самостійного розв’язування
1. Використовуючи означення похідної функції f у точці х 0, знайти похідні функцій:
а) 
; б) 
.
2. Знайти похідну функції:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
;
9) 
.
3. Знайти значення похідної функції 
у точці х 0:
а) 
, х 0= 
; б) 
, х 0= 
.
4. Знайти рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х 0:
а) 
, х 0=2; б) 
, х 0= 
;
5. Знайти рівняння дотичних, проведених до графіка функції 
у точках його перетину з прямою y =1.
7. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом 
. Знайти швидкість і прискорення точки у момент часу 
(шлях s вимірюється в метрах).
10. Обсяг продукції, виробленої бригадою робітників впродовж дня, описується функцією 
, де t – час, виражений у годинах. Визначити продуктивність праці бригади через 2 години після початку роботи.
Відповіді:
1. а) 
; б) 
.
2. 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
; 
; 9) 
;
3. а) –2; в) 6.
4. а) 
; б) 
.
5. 
, 
.
6. v =35 м / с, а =22 м / с 2.
7. 63 од / год.
