Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕриклади




1. ¬икористовуючи означенн€ пох≥дноњ функц≥њ f у точц≥, знайти пох≥дн≥ функц≥й:

а) ; б) .

–озвТ€занн€. а) Ќехай х Ц дов≥льна ф≥ксована точка з D (f)= R.

1. Ќадамо х приросту D х ≥ знайдемо в≥дпов≥дний прир≥ст функц≥њ D f (x):

D f (x)= f (x +D хf (x)=sin(х +D х)Цsin x = .

ѕри перетворенн≥ р≥зниц≥ синус≥в у добуток тригонометричних функц≥й використано формулу .

2. = .

3. «найдемо :

= =

= .

ѕри знаходженн≥ використано першу чудову границю: .

ќск≥льки х Ц дов≥льна точка, то = дл€ вс≥х х Î R.

ќтже, .

б) Ќехай х Ц дов≥льна ф≥ксована точка з D (f)= R.

1. Ќадамо х приросту D х ≥ знайдемо в≥дпов≥дний прир≥ст функц≥њ D f (x):

D f (x)= f (x +D хf (x)= = .

2. = .

3. «найдемо :

= .

ѕри знаходженн≥ використано важливу границю: .

¬насл≥док дов≥льност≥ аргумента х, маЇмо: = дл€ вс≥х х Î R.

ќтже, .

2. ƒовести, що у точц≥ х 0=0 не ≥снуЇ пох≥дна функц≥њ .

–озвТ€занн€. «найдемо л≥ву ≥ праву пох≥дн≥ функц≥њ у точц≥ х 0=0:

= = =

= = = ;

= = = .

ќск≥льки л≥ва ≥ права пох≥дн≥ функц≥њ у точц≥ х 0=0 не дор≥внюють одна одн≥й, то в ц≥й точц≥ не ≥снуЇ пох≥дна функц≥њ f.

3. «найти пох≥дн≥ функц≥й:

а) y =sin x + x 8Ц2; б) + ; в) y = x 5ln x; г) y = ;

д) y =ln(cos x); е) y =arctg x 4; Ї) y = ; ж) , x >0.

–озвТ€занн€. а) —початку використаЇмо правило 1, а пот≥м формули 5, 2, 1 ≥з таблиц≥ пох≥дних:

= Ц =cos x +8 x 7Ц0= =cos x +8 x 7.

б) —початку використаЇмо правило 1, а пот≥м правило 2.1 та формули 7, 2.1, 2.3, 1 ≥з таблиц≥ пох≥дних:

= =

= = = .

в) —початку використаЇмо правило 2, а пот≥м формули 2, 4.1 ≥з таблиц≥ пох≥дних:

= =5 x 4×ln x + x 5× =5 x 4×ln x + x 4= .

г) ¬икористаЇмо правило 3, а пот≥м формули 10, 2 ≥з таблиц≥ пох≥дних:

= =

= = .

д) ‘ункц≥€ y =ln(cos x) Ї складеною. ѓњ можна записати у вигл€д≥ y =ln u, де u =cos x. ƒл€ знаходженн€ пох≥дноњ функц≥њ y =ln(cos x) спочатку скористаЇмос€ правилом 4: , де u = g (x), а пот≥м формулами 4.1, 6 ≥з таблиц≥ пох≥дних. ќтже,

.

е) ‘ункц≥€ y =arctg x 4 Ц складена; u = x 4 Ц внутр≥шн€ функц≥€, y =arctg u Ц зовн≥шн€ функц≥€. ƒл€ знаходженн€ пох≥дноњ функц≥њ y =arctg x 4 використаЇмо правило 4 ≥ формули 11, 2 з таблиц≥ пох≥дних:

=

= .

ѕри знаходженн≥ пох≥дноњ складеноњ функц≥њ пром≥жн≥ етапи, що повТ€зан≥ ≥з вид≥ленн€м внутр≥шньоњ ≥ зовн≥шньоњ функц≥й, ≥з знаходженн€м пох≥дноњ зовн≥шньоњ функц≥њ, €к правило, не записують у розвТ€занн≥. ” цьому раз≥ розвТ€занн€ цього завданн€ буде таким:

= .

Ї) ƒл€ знаходженн€ пох≥дноњ функц≥њ y = спочатку використаЇмо правило 2, пот≥м правило 4 (дл€ знаходженн€ пох≥дноњ складеноњ функц≥њ ) ≥ формули 7, 2.3 з таблиц≥ пох≥дних:

= =

= = .

ж) ‘ункц≥њ (x >0) Ї степенево-показниковою. “ому за правилом 6 маЇмо:

, x >0.

4. «найти значенн€ пох≥дноњ функц≥њ у точц≥ х 0=0,6.

–озвТ€занн€. —початку знайдемо пох≥дну функц≥њ f. ѕри знаходженн≥ пох≥дноњ функц≥њ врахуЇмо, що ц€ функц≥€ Ї складеною.

ќтже,

= =

= .

“од≥ .

5. «найти р≥вн€нн€ дотичноњ, проведеноњ до граф≥ка функц≥њ у точц≥ з абсцисою х 0=Ц2.

–озвТ€занн€. ¬икористаЇмо р≥вн€нн€ дотичноњ, проведеноњ до граф≥ка функц≥њ f у точц≥ з абсцисою х 0: .

ўоб записати це р≥вн€нн€ знайдемо :

;

;

.

“од≥

= = .

ќтже, Ц шукане р≥вн€нн€ дотичноњ.

6. «найти р≥вн€нн€ дотичноњ до граф≥ка функц≥њ , €ка паралельна до пр€моњ .

–озвТ€занн€. ¬иход€чи з геометричного зм≥сту пох≥дноњ, кутовий коеф≥ц≥Їнт дотичноњ, проведеноњ до граф≥ка функц≥њ , дор≥внюЇ . ќск≥льки шукана дотична Ї паралельною до пр€моњ , то кутов≥ коеф≥ц≥Їнти цих пр€мих Ї однаковими. ¬раховуючи, що кутовий коеф≥ц≥Їнт k пр€моњ дор≥внюЇ Ц2, маЇмо:

Û Û Û х =1.

ќтже, €кщо до граф≥ка функц≥њ f у точц≥ з абсцисою х 0=1 провести дотичну, то вона буде паралельною до пр€моњ . «найдемо р≥вн€нн€ ц≥Їњ дотичноњ.

;

;

= .

ќтже, Ц шукане р≥вн€нн€ дотичноњ.

7. ћатер≥альна точка рухаЇтьс€ пр€мол≥н≥йно за законом .

а) «найти швидк≥сть ≥ прискоренн€ точки у момент часу (шл€х s вим≥рюЇтьс€ в метрах).

б) „ерез ск≥льки секунд п≥сл€ початку руху точка зупинитьс€?

–озвТ€занн€. а) ¬раховуючи механ≥чний зм≥ст пох≥дноњ, знайдемо за €ким законом зм≥нюЇтьс€ швидк≥сть ≥ прискоренн€ точки:

;

.

“од≥ швидк≥сть ≥ прискоренн€ точки у момент часу Ї такими:

м / с; м / с 2.

¬≥дТЇмне значенн€ прискоренн€ вказуЇ на спов≥льнений рух точки.

б) якщо точка зупинилас€, то њњ швидк≥сть дор≥внюЇ нулю. “ому щоб знайти момент часу, коли точка зупинитьс€, потр≥бно розвТ€зати р≥вн€нн€ :

Û Û

«а зм≥стом задач≥ в≥дТЇмне значенн€ t не п≥дходить. ќтже, через 5 с п≥сл€ початку руху точка зупинитьс€.

8. ќбс€г продукц≥њ, виробленоњ бригадою роб≥тник≥в, описуЇтьс€ функц≥Їю (одиниць), , де t Ц робочий час у годинах. ¬изначити продуктивн≥сть прац≥ через годину п≥сл€ початку роботи та за годину до њњ зак≥нченн€.

–озвТ€занн€. ¬раховуючи економ≥чний зм≥ст пох≥дноњ, знайдемо закон, за €ким зм≥нюЇтьс€ продуктивн≥сть прац≥ бригади роб≥тник≥в:

= .

” задан≥ моменти часу t 1=1 годt 2=8Ц1=7 год в≥дпов≥дно маЇмо таку продуктивн≥сть прац≥ бригади роб≥тник≥в:

(одиниць / год);

(одиниць / год).

як бачимо, наприк≥нц≥ роботи продуктивн≥сть прац≥ бригади роб≥тник≥в зменшуЇтьс€.

 

«авданн€ дл€ самост≥йного розвТ€зуванн€

1. ¬икористовуючи означенн€ пох≥дноњ функц≥њ f у точц≥ х 0, знайти пох≥дн≥ функц≥й:

а) ; б) .

2. «найти пох≥дну функц≥њ:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) .

3. «найти значенн€ пох≥дноњ функц≥њ у точц≥ х 0:

а) , х 0= ; б) , х 0= .

4. «найти р≥вн€нн€ дотичноњ, проведеноњ до граф≥ка функц≥њ у точц≥ з абсцисою х 0:

а) , х 0=2; б) , х 0= ;

5. «найти р≥вн€нн€ дотичних, проведених до граф≥ка функц≥њ у точках його перетину з пр€мою y =1.

7. ћатер≥альна точка рухаЇтьс€ пр€мол≥н≥йно за законом . «найти швидк≥сть ≥ прискоренн€ точки у момент часу (шл€х s вим≥рюЇтьс€ в метрах).

10. ќбс€г продукц≥њ, виробленоњ бригадою роб≥тник≥в впродовж дн€, описуЇтьс€ функц≥Їю , де t Ц час, виражений у годинах. ¬изначити продуктивн≥сть прац≥ бригади через 2 години п≥сл€ початку роботи.

¬≥дпов≥д≥:

1. а) ; б) .

2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; ; 9) ;

3. а) Ц2; в) 6.

4. а) ; б) .

5. , .

6. v =35 м / с, а =22 м / с 2.

7. 63 од / год.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 808 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќаглость Ц это ругатьс€ с преподавателем по поводу четверки, хот€ перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2440 - | 2024 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.052 с.