Рассмотрим уравнения Максвелла в среде с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью
. Область за фронтом электромагнитного поля будет определяться неравенством
, где
– функция координат. Собственное время фронта будет иметь вид
. Правую часть зададим в виде плотности тока
, где
– проводимость среды, а
– плотность стороннего тока.
Напомним, как выводятся макроскопические уравнения Максвелла [6]. Рассмотрим микроскопические уравнения:
(21)
Здесь и
означают компоненты микроскопического электромагнитного поля, а
и
– микроскопические плотности заряда и тока, в том числе, ответственные за поляризацию и намагниченность среды.
Рассмотрим ту пару уравнений Максвелла, которая не содержит и
. Усредним их по пространственным переменным, обозначая
,
. Значок
означает усреднение.
Пусть , где
– плотность внешнего заряда, а
– плотность заряда, создающего поляризацию. На масштабах усреднения интеграл
по любому объему равен нулю. Поэтому
можно представить в виде
, где
– векторное поле, которое называют поляризацией среды. Рассмотрим третье уравнение системы (21). Применяя к нему процедуру усреднения, получим уравнение
(22)
где – индукция электромагнитного поля.
Величина определена с точностью до любого соленоидального векторного поля. Продифференцируем (22) по времени и воспользуемся непрерывностью заряда:
(23)
Величина под знаком дивергенции в (23) может быть представлена в виде ротора некоторого векторного поля . Получим последнее макроскопическое уравнение Максвелла:
(24)
Для того, чтобы определить систему макроскопических уравнений Максвелла, постулируем, что ,
.
Величины и
получены прямым усреднением компонент электромагнитного поля, которые являются компонентами тензора. Это означает, что
(25)
является кососимметричным тензором второго ранга типа . Поскольку
и
зависят от
и
линейно, можно ввести тензор
, (26)
который связан с тензором соотношением
, где
– кососимметричный по парам индексов
и
тензор, описывающий свойства среды.
С помощью введенных тензоров уравнения Максвелла в среде могут быть записаны в следующем виде:
,
(27)
Уравнения (27) можно получить вариацией функционала действия, если действие для поля представить в виде . Тогда тензор энергии-импульса можно записать в следующем симметричном виде:
.
Отсюда энергия в координатах представляется в виде
, а вектор Пойнтинга –
. В координатах
,
.
Уравнения (27) дают основание записывать уравнения Максвелла в среде в собственном времени так:
,
,
где , энергию электромагнитного поля:
,
а закон ее сохранения
.
В системе координат уравнения Максвелла имеют вид:
, (28)
,(32)
, (29)
,(32)
, (30)
,(33)
где
.
79. ……