Рассмотрим уравнения Максвелла в среде с диэлектрической проницаемостью 
и магнитной проницаемостью 
. Область за фронтом электромагнитного поля будет определяться неравенством 
, где 
– функция координат. Собственное время фронта будет иметь вид 
. Правую часть зададим в виде плотности тока 
, где 
– проводимость среды, а 
– плотность стороннего тока.
Напомним, как выводятся макроскопические уравнения Максвелла [6]. Рассмотрим микроскопические уравнения:
(21)
Здесь 
и 
означают компоненты микроскопического электромагнитного поля, а 
и 
– микроскопические плотности заряда и тока, в том числе, ответственные за поляризацию и намагниченность среды.
Рассмотрим ту пару уравнений Максвелла, которая не содержит и . Усредним их по пространственным переменным, обозначая 
, 
. Значок 
означает усреднение.
Пусть 
, где 
– плотность внешнего заряда, а 
– плотность заряда, создающего поляризацию. На масштабах усреднения интеграл 
по любому объему равен нулю. Поэтому можно представить в виде 
, где 
– векторное поле, которое называют поляризацией среды. Рассмотрим третье уравнение системы (21). Применяя к нему процедуру усреднения, получим уравнение
(22)
где 
– индукция электромагнитного поля.
Величина 
определена с точностью до любого соленоидального векторного поля. Продифференцируем (22) по времени и воспользуемся непрерывностью заряда:
(23)
Величина под знаком дивергенции в (23) может быть представлена в виде ротора некоторого векторного поля 
. Получим последнее макроскопическое уравнение Максвелла:
(24)
Для того, чтобы определить систему макроскопических уравнений Максвелла, постулируем, что 
, 
.
Величины 
и 
получены прямым усреднением компонент электромагнитного поля, которые являются компонентами тензора. Это означает, что
(25)
является кососимметричным тензором второго ранга типа 
. Поскольку и зависят от и линейно, можно ввести тензор
, (26)
который связан с тензором 
соотношением 
, где 
– кососимметричный по парам индексов 
и 
тензор, описывающий свойства среды.
С помощью введенных тензоров уравнения Максвелла в среде могут быть записаны в следующем виде:
, 
(27)
Уравнения (27) можно получить вариацией функционала действия, если действие для поля представить в виде 
. Тогда тензор энергии-импульса можно записать в следующем симметричном виде:
.
Отсюда энергия в координатах 
представляется в виде 
, а вектор Пойнтинга – 
. В координатах 
, 
.
Уравнения (27) дают основание записывать уравнения Максвелла в среде в собственном времени так:
, 
,
где 
, энергию электромагнитного поля:
,
а закон ее сохранения
.
В системе координат 
уравнения Максвелла имеют вид:
, (28) 
,(32)
, (29) 
,(32)
, (30) 
,(33)
где 
.
79. ……
