Для уравнения Клейна - Гордона

Для уравнения Клейна - Гордона

отличающееся только последним членом, дает при аналогичной подстановке

откуда:

и

(Это выражение при ненулевых вещественных m всегда больше, чем C и может быть сколь угодно большим при k → 0.

понятие групповой скорости электромагнитной волны. Необходимость рассмотрения наряду с фазовой скоростью также групповой скорости связана с негармоническими электромагнитными волнами. Оказывается, что электромагнитная волна с произвольной зависимостью от времени и координат точки наблюдения может быть представлена в виде суперпозиции плоских гармонических волн всевозможных частот.

Волновые пакеты представляют большой практический интерес при рассмотрении взаимодействия электромагнитных волн с веществом, широко используются для передачи информации и пр. Поэтому имеет физический смысл оценка скорости движения волнового пакета или группы волн.

Такая скорость называется групповой и обозначается символом . Оказывается, перенос энергии электромагнитной волной осуществляется со скоростью, равной групповой.

Расчет групповой скорости электромагнитной волны приводят к следующей формуле

.

(1.17a)

Это выражение отличается от формулы для расчета фазовой скорости плоской гармонической волны частоты :

.

(1.17b)

Это различие имеет очевидную физическую причину, поскольку каждая из составляющих волновой пакет гармонических волн вследствие различия их частот (2.13d) имеет свою фазовую скорость.

Можно показать, что фазовая и групповая скорости связаны между собой соотношением:

,

(1.17c)

где - скорость света в среде распространения электромагнитной волны.

Для плоских гармонических электромагнитных волн значения фазовой и групповой скоростей, рассчитываемых по формулам (1.17a) и (1.17b), совпадают.