Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—войства плоских электромагнитных волн. —в€зь между пол€ми E и H , волновым вектором k и частотой w




Ќапомним, что если в электромагнитной волне вектор имеет единственное направление (а, следовательно, единственное на≠правление имеет и вектор ), то волна называетс€ линейно-пол€ризованной. Ќиже будут приведены доказательства того, что свет представл€ет собой электромагнитные волны, частоты которых лежат в определенном интервале. ≈сли в световой волне вектор ) имеет всевозможные направлени€, то такой свет прин€то называть естественным. —ледовательно, свет как плоска€ электромагнитна€ волна может быть в однородной среде как естественным, так и линейно-пол€ризованным.

Ёлектромагнитна€ волна может переносить электромагнитную энергию (поток энергии). ¬ычислим поток электромагнитной энергии в вакууме, исход€ из уравнений ћаксвелла. ƒл€ этого умножим обе стороны уравнени€ (12.1) скал€рно на , а обе стороны уравнени€ (12.2) Ц на :

, (12.18)

. (12.19)

»спользуем формулу векторного анализа

и, соответственно, вычтем из уравнени€ (12.18) выражение (12.19):

. (12.20)

¬ыражение (12.20) представл€ет собой запись закона сохранени€ энергии электромагнитного пол€ в дифференциальной форме. –ассмотрим физический смысл отдельных величин, вход€щих в уравнение (12.20). „астна€ производна€ представл€ет собой приращение электромагнитной энергии единицы объема за единицу времени, a Ц поток энергии, вытекающей из единицы объема за единицу времени. ¬ектор представл€ет собой поток энергии через единичную площадку, расположенную перпендикул€рно потоку. ѕри и поток посто€нен и вектор выражает поток энергии за единицу времени, при переменных и он выражает мгновенное значение потока.

¬ведем обозначение:

, (12.21)

где называют вектором ”моваЦѕойнтинга. Ётот вектор определ€ет направление распространени€ энергии волны.

¬ычислим вектор ”моваЦѕойнтинга плоской электромагнитной волны:

. (12.22)

—огласно выражению (12.22), векторы S и k коллинеарны. Ёто справедливо только дл€ вакуума и изотропных сред. ¬ анизотропных средах, в которых физические свойства различны дл€ разных направлений, это условие в общем случае не выполн€етс€. »спользуем ранее введенный единичный вектор m, направленный вдоль распространени€ волны .

ѕоскольку дл€ вакуума то

. (12.23)

Ќайдем соотношение между абсолютными значени€ми векто≠ров и в плоской волне. »з уравнений (12.15) и (12.16) имеем:

. (12.24)

»ме€ в виду, что , получим:

. (12.25)

”читыва€, что векторы , , взаимно перпендикул€рны, находим соотношение между абсолютными значени€ми векторов и :

. (12.26)

»з общего определени€ плотности электромагнитной энергии в вакууме

. (12.27)

— учетом уравнени€ (12.11) дл€ плоской волны получим

. (12.28)

«апишем теперь окончательное выражение дл€ вектора ”моваЦѕойнтинга в плоской волне:

. (12.29)

ѕолученное равенство имеет простой смысл. „ерез единичную площадку, поставленную перпендикул€рно распространению волны, в единицу времени проходит энерги€, заключенна€ в цилиндре с площадью основани€, равной единице, и высотой .

 

63ЕЕЕ

64.ѕреобразовани€ Ћоренца дл€ четырехмерных (рел€тивистских) векторов Ц координат пространства-времени, плотностей токов и зар€дов, энергии и импульса. »х простейшие инварианты.

—истемы координат. ѕреобразовани€ Ћоренца

ƒл€ описани€ процессов соударени€ частиц а и b с образованием частиц
ci а + b → а' + b' + c1 + c2 +...+ cn наиболее часто примен€ютс€ четыре системы координат:

лабораторна€ или L-система (ЋјЅ);

симметрична€ или S-система (—»ћ):

система центра масс или —-система (—÷ћ);

зеркальна€ или ћ-система («≈– ).

¬ лабораторной системе мишень покоитс€, т.е. рb = 0, ≈b = mbc2, а 4-импульсы взаимодействующих частиц будут a{pa,Ea/c} и b{0, mbс}.
¬ симметричной системе сумма импульсов вторичных зар€женных частиц равна нулю: ∑зарpi = 0.
—истема центра масс Ц это система, в которой сумма импульсов сталкивающихс€ частиц равна нулю: pа* + –b* = 0 (параметры частиц в этой системе будем обозначать знаком *).
“ак. эксперименты на встречных пучках (ISR, ÷≈–Ќ) провод€тс€ в системе, близкой к —÷ћ (пучки пересекаютс€ под малым углом 15∞).
¬ зеркальной (или антилабораторной) системе покоитс€ налетающа€ частица, т.е. ра = 0, ≈а = mас2. а 4-импульсы сталкивающихс€ частиц есть a{0,mac} и bb, ≈b/с}.
»з приведенных выше определений систем отсчета видно их отношение к состо€нию движени€ первичных частиц: в L-системе практически вс€ полна€ энерги€ системы сосредоточена до столкновени€ на частице а, в ћ-системе Ц на частице b, в —-системе сталкивающиес€ частицы равноправны, эта система наиболее часто употребл€етс€ дл€ описани€ процесса соударени€.
»змерени€ обычно ведутс€ в лабораторной системе, а дл€ анализа эксперимента используютс€ другие системы.
ѕереход из одной системы координат в другую осуществл€етс€ с помощью преобразований Ћоренца. ¬ физике высоких энергий и физике космических лучей экспериментатор имеет дело со скорост€ми частиц, близкими к скорости света. ѕоэтому при переходе от одной системы отсчета к другой нужно пользоватьс€ рел€тивистскими формулами преобразовани€ в четырехмерном пространстве.
 ак известно, рел€тивистска€ механика формулируетс€ в четырехмерном пространстве, где сохран€етс€ длина четырехмерного вектора. ƒругими словами, длина четырехмерного вектора с координатами x,y,z,ct €вл€етс€ лоренц-инвариантом. ѕреобразовани€ Ћоренца устанавливают св€зь между координатами 4-вектора в лабораторной системе (x,y,z,ct) с его координатами в движущейс€ системе, например —-системе (x*, у*, z*, ct*).
ѕереход из —-системы в L-систему осуществл€етс€ с помощью матрицы

≈сли ј Ц 4-вектор с координатами {x1x2x3x4} в L-системе, то ј = L-1A*. где A*{x1*x2*x3*x4*} Ц 4-вектор в —-системе.
јналогичен переход из L-систeмы в —-систeму: ј* = LЈA,

где Ц матрица перехода.

ѕусть —-система движетс€ так, что ее скорость vнаправлена вдоль оси х* и совпадает с направлением оси х лабораторной системы. ѕри этом св€зь координат в L- и —-системах выразитс€ соотношени€ми

х = γс(x* + vt), y = y*, z = z*, ,

где

ƒл€ перевода 4-импульса *(рxyz*≈*) из —-системы в L-систему

ѕосле применени€ матрицы L-1получаем дл€ отдельных компонент 4-импульса следующие соотношени€: рх = γсx* + βcE*), ру = py*, рzz*.

≈ = γс(≈* + βcpх*).

ƒл€ перевода 4-импульса (pxpypzE) из L-системы в —-систему примен€етс€ матрица L

ѕосле этого получим дл€ отдельных компонент 4-импульса: рх* = γсх Ц βc≈), ру* = ру, pz* = pz,

≈* = γс(≈ Ц βcpх).

4.2. »нварианты лоренцевских преобразований

1. 4-импульс {р, E}, квадрат 4-импульса 2 = ≈2 Ц р2 = m2 €вл€етс€ инвариантом

¬се квадратичные формы 4-импульсов также €вл€ютс€ инвариантами.

2. »нвариант квадрат эффективной массы , дл€ двух частиц:

; ,

если массами mi, и mj можно пренебречь.

3. Ќедостающа€ масса к частице с может быть вычислена по формулам

;

4. ѕоперечный импульс €вл€етс€ инвариантной величиной. ѕоперечна€ масса используетс€ дл€ определени€ энергии ≈i, и продольного импульса
: , , где уi, Ц быстрота.

5. Ѕыстрота .
ѕри р ≈ ≈ псевдобыстрота
ƒл€ этих величин инвариантами €вл€ютс€ интервалы Δу и Δη.

–аспределение dσ/dy Ц инвариант с точностью до переноса системы координат:

dσ/dy y = yс + y*;
ch y = (ey + e-y)/2;
sh y = (ey Ц e-y)/2.

ќпределение границ изменени€ быстроты частицы "с" в пределах от ymin до ymах дастс€ соотношени€ми:

6. ѕеременные ћандельштама s, t, u €вл€ютс€ инвариантами:

s= ( а+ b)2; t = ( a Ц c)2; u = ( b Ц с)2.

7. »нвариантом лоренцевских преобразований €вл€етс€ фазовый объем Ц область фазового пространства, разрешенна€ законами сохранени€. Ёлемент фазового объема определ€етс€ через произведение дифференциалов 4-импульсов частиц.
— учетом законов сохранени€ элемент трехмерного инвариантного фазового объема можнize:

где δ-функци€ учитывает закон сохранени€ 4-импульса.

ѕолный фазовый объем Ц это интеграл по всем импульсам частиц конечного состо€ни€

‘(s) = ∫d‘i.

простейшие инварианты.

где

 

 

65.ѕреобразовани€ Ћоренца дл€ электромагнитных полей (в векторном виде). “ензор электромагнитного пол€, дуальный тензор и их инварианты.

явный вид преобразований псевдоевклидовой плоскости

Ћоренцевы преобразовани€ псевдоевклидовой плоскости можно записать в наиболее простом виде, использу€ базис , состо€щий из двух изотропных векторов:

»менно, в зависимости от знака определител€ , матрица преобразовани€ в данном базисе имеет вид:

«нак числа определ€ет то, оставл€ет ли преобразование части светового конуса на месте , или мен€ет их местами .

ƒругой часто встречающийс€ вид матриц лоренцевых преобразований псевдоевклидовой плоскости получаетс€ при выборе базиса, состо€щего из векторов и :

¬ базисе матрица преобразовани€ имеет одну из четырЄх форм:

где и Ч гиперболические синус и косинус.

[править] явный вид преобразований пространства сигнатуры (n-1,1)

Ћоренцевы преобразовани€ -мерного псевдоевклидова пространства со скал€рным произведением

описываютс€ следующей теоремой.

¬ид преобразований при произвольной ориентации осей

¬ силу произвольности введени€ осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. ≈сли же задача требует иного расположени€ осей, то можно воспользоватьс€ формулами преобразований в более общем случае. ƒл€ этого радиус-вектор точки

,

где Ч орты, надо разбить на составл€ющую параллельную скорости и составл€ющую ей перпендикул€рную

.

“огда преобразовани€ получат вид

,

где Ч абсолютна€ величина скорости, Ч абсолютна€ величина продольной составл€ющей радиус-вектора.

Ёти формулы дл€ случа€ параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному √ерглоцем:

.

ќбратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведЄн с целью экономии места. ≈го можно получить, добавив к преобразовани€м Ћоренца трансл€цию (смещение начала координат).

“ензор электромагнитного пол€, дуальный тензор и их инварианты.

ќпределение

“ензор электромагнитного пол€ определ€етс€ через 4-потенциал по формуле

’от€ он выражаетс€ через обычные производные, а не ковариантные, он €вл€етс€ тензором относительно произвольных преобразований координат. Ёто следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

≈сли рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного пол€ выражаетс€ как внешн€€ производна€

ќтсюда также очевидна его инвариантность.

 

66ЕЕЕ





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2435 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћибо вы управл€ете вашим днем, либо день управл€ет вами. © ƒжим –он
==> читать все изречени€...

2075 - | 1817 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.075 с.