Рассмотрим систему двух точечных электрических зарядов 
и 
, произвольным образом расположенных в пространстве на расстоянии 
друг от друга. Такую систему зарядов назовем
|
| Рис. 2.1. Электрический диполь |
Из точки расположения отрицательного заряда в точку расположения положительного заряда проведем вектор 
(Рис. 2.1). Электрическим моментом диполя (дипольным моментом) назовем физическую величину
| (2.1) |
Электрический диполь создает вокруг себя электрическое поле, которое нетрудно рассчитать с использованием принципа суперпозиции. Однако на расстояниях, значительно превышающих размер 
диполя, электростатическое поле обладает некоторыми характерными свойствами, представляющими интерес для дальнейшего изложения предмета.
|
| Рис. 2.2. Поле электрического диполя |
Рассмотрим физическую ситуацию, изображенную на рис. 2.2. Здесь 
- точка наблюдении.
Рассчитаем значение потенциала электростатического поля в точке наблюдения 
в предположении, что потенциал бесконечно удаленной точки пространства равен нулю и 
. Ниже под величинами 
будем понимать модули соответствующих векторов. Точное выражение для потенциала в точке имеет вид:
 .
| (2.2) |
Векторы  и  связанны между собой зависимостью ,
| (2.3) |
что позволяет переписать выражение (2.2) в форме:
 .
| (2.4) |
В полученном выражении опустим член 
как малую величину и опустим индекс "+" у модуля соответствующего вектора:
С учетом обозначения (2.1) получаем:
 ,
| (2.5) |
где 
- угол между вектором 
и направлением на точку наблюдения . Заметим, что если сравнивать между собой потенциал поля точечного заряда и потенциал поля диполя, легко увидеть, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда.
Напряженность электростатического поля в точке наблюдения 
можно было бы вычислить, используя зависимость 
, но вычисление градиента скалярного произведения требует привлечения довольно громоздкой формулы векторного анализа, поэтому используем прямое вычисление:
 .
| (2.6) |
Аналогично предыдущему воспользуемся тем обстоятельством, что 
:
Упрощение последнего выражения с учетом малости 
приводит к соотношению:
| (2.7) |
где 
, 
имеет то же значение, что и выше. Если ограничиться направлением, перпендикулярным направлению дипольного момента (
), то становится очевидным, что величина напряженности электрического поля диполя в дальней зоне убывает с расстоянием быстрее, чем убывает величина напряженности поля, образованного одиночным точечным зарядом.
Энергия точечного заряда q во внешнем электрическом поле согласно (1.18) равна Wp = qj, где j – потенциал поля в точке нахождения заряда q. Для диполя – системы двух точечных зарядов – энергия во внешнем поле равна: Wp = q + j + + q – j – = q (j + – j –), где j + и j – – потенциалы электрического поля в точках расположения зарядов + q и – q. Потенциал однородного поля убывает линейно в направлении вектора 
. С точностью до величины второго порядка малости можно записать.Из этой формулы следует, что минимальную энергию диполь имеет в положении 
(положение устойчивого равновесия)
22.Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал и напряженность поля магнитного диполя в статике. Энергия магнитного диполя во внешнем магнитном поле.
Пусть в некотором конечном объеме 
безграничного пространства текут электрические токи с объемной плотностью 
. Предположим, что для рассматриваемого объема выполнено условие
| (4.1) |
Введем в рассмотрение величину
| (4.2) |
которую назовем магнитным моментом системы токов в объеме . В определении (4.2) 
- радиус-вектор элемента тока 
. Можно проверить, что величина (4.2) характеризует систему токов в объеме 
и не зависит от выбора положения начала координат системы отсчета. Действительно, если
то
Учитывая условие (4.1), убеждаемся, что
.
Если ток 
течет по тонкому проводнику, имеет место очевидная замена 
при этом направление тока считается положительным, если оно совпадает с направлением ориентированного отрезка контура 
. В этом случае
 ,
| (4.3) |
если выполнено условие
 .
| (4.4) |
В простейшем случае замкнутого контура величина постоянна для всех элементов 
рассматриваемого контура, что приводит к соотношениям:
 .
| (4.5) |
| |
| Рис. 4.1. К определению дипольного момента контура с током |
Заметим, что второе из соотношений (4.5) - формальное требование замкнутости контура.
Векторное произведение в первом из соотношений (4.5) можно преобразовать:
,
где 
- ориентированный элемент площади треугольника, образованного векторами 
и 
. С учетом этого преобразования получаем:
 .
| (4.6) |
Допустим, что на рассматриваемый контур с током "натянута" поверхность 
, для которой выполнены известные условия непрерывности и гладкости. Боковая поверхность конуса, составленная из элементов поверхности 
и поверхность в совокупности образуют замкнутую поверхность, для которой
 .
| (4.7) |
Заметим, что выражение (4.7) справедливо, если нормаль к поверхности 
направлена внутрь конического тела.
Из соотношения (4.7) следует:
,
а если сменить направление нормали к элементу поверхности 
на противоположное, то получим
.
Таким образом, магнитный момент пространственного (не лежащего целиком в какой-либо плоскости) замкнутого контура с током 
определен соотношением:
 .
| (4.8) |
Следует заметить, что в рассмотренном построении естественным образом возникло правило согласования между собой положительного направления обхода контура (направление ) и направления нормали 
к элементам поверхности, натянутой на этот контур.
Если замкнутый контур с током является плоским, тогда вектор нормали к плоской поверхности сохраняет одно и то же направление для всех элементов плоской поверхности, величину можно вынести из под знака интеграла (4.8), а оставшееся выражение проинтегрировать:
| (4.9) |
Заметим, что для плоского контура справедливы формулы и (4.8) и (4.9),
