Пример выполнения задания 3

Ниже приведен вариант выполнения основных пунктов задания 3, полученный с использованием математического пакета MATLAB. В качестве примера сигнала выбран один период «обрезанной косинусоиды» (рисунок 2.2), приведённый к временному масштабу (0, 1).

4.2.1 Дискретная модель сигнала s(t)

Поскольку временной интервал задан в границах от 0 до 1, то аналитический вид исходного сигнала будет равен

(4.1)

где Период сигнала задан и равен T= 1.

Согласно выражению (4.1) записывается М-функция расчёта сигнала в заданном вектором t количестве равноотстоящих точек (рисунок 4.1).

function s=cosob(t,Um,Uo) % s = cosob(t,Um,Uo) % t - вектор текущего времени % Um - амплитуда % Uo - уровень отсечки if nargin == 1 Um = 1; Uo = 0; elseif nargin == 2 Uo = 0; end teta = acos(Uo/Um); tg = teta/(2*pi); n = length(t); t1 = t-0.5; s = zeros(n,1); for i = 1:n if abs(t1(i)) < tg s(i)=-Uo+Um*cos(2*pi*t1(i)); end end

Рисунок 4.1 – График исходного сигнала и М-файл его дискретной модели

Задавая вектор t в виде t256=linspace(0,1,256); и обращаясь к М-функции s256=cosob(t256,2,1);, получим 256 равноотстоящих отсчётов исходного сигнала на интервале (0, 1). Система гармонических базисных функций в тех же временных точках интервала (0, 1) составляется по командам (16 гармоник и одна постоянная):

for k=1:17

cs256(k,:)=cos((k-1)*2*pi*t256);

sc256(k,:)=sin((k-1)*2*pi*t256);

end

Далее по одной из гармонических функций определяется множитель, равный элементу (шагу) интегрирования,:

Mcs256=1/cs256(2,:)*cs256(2,:)';

Msc256=1/sc256(2,:)*sc256(2,:)';.

Поскольку вектор отсчётов сигнала и базисная система определены, то с помощью матричного перемножения вычисляются косинусная и синусная составляющие спектра сигнала:

a256=cs256*s256*Mcs256;

b256=sc256*s256*Msc256;

а также его амплитудный и фазовый спектры:

A256=sqrt(a256.^2+b256.^2);

P256=atan(b256./a256);,

которые выводятся в командное окно по команде [A256’; P256’]. На рисунке 4.2 представлены амплитудный спектр сигнала при числе точек N = 512 и отклонения от него при N = 256 и N = 100.

Рисунок 4.2 – Амплитудный спектр и отклонения от него при меньшем числе точек

Более точно изменение спектральных составляющих при различном количестве точек дискретизации представлено в таблице.

N= 100 0.4270 0.3831 0.2704 0.1355 0.0272 0.0272 0.0312 0.0098 0.0098

N= 256 0.4325 0.3879 0.2735 0.1368 0.0274 0.0274 0.0313 0.0098 0.0098

N= 512 0.4343 0.3895 0.2746 0.1373 0.0275 0.0275 0.0314 0.0098 0.0098

N = ¥ 0.4361 0.3910 0.2757 0.1378 0.0276 -0.0276 -0.0315 -0.0098 0.0098

Перед вычислением сигнала, представленного суммой гармонических составляющих, необходимо уменьшить в два раза коэффициент a ₀ (здесь a256(1)):

a256(1)=a256(1)/2;

а затем сложить матричные произведения спектров и базисных функций:

S256 = a256'*cs256* +b256'*sc256;.

Вектор ошибки представления сигнала вычисляется по команде

dS256 = s256(:) – S256(:);,

а величина СКО – по команде

sigma256 = std(dS).

Относительная ошибка вычисляется по команде

Osh256 = sigma256/sqrt(sum(s256.^2)/length(s256)).

СКО разложения сигнала по гармоническому базису уменьшаются обратно пропорционально количеству отсчётов сигнала:

sigma100 sigma200 sigma256 sigma512

0.0091 0.0058 0.0057 0.0049 – абсолютная СКО,

2.2 1.4 1.4 1.2 – относительная СКО (%).

На представленных ниже временных графиках (рисунок 4.3) для повышения наглядности ошибки разложения увеличены в 10 раз. Наибольшее отклонение наблюдается около точек резкого изменения величины сигнала.

Рисунок 4.3 – Временные зависимости ошибок гармонического представления

4.2.2 Дискретная модель смещённого сигнала s_см(t)

Так как смещение равно четверти периода, т.е. 0.25, то аналитическое выражение сигнала имеет вид:

(4.2)

где Период сигнала задан и равен T= 1.

Согласно выражению (4.2) записывается М-функция cosobsm(t,Um,Uo,Sm) расчёта смещённого сигнала в заданном вектором t количестве равноотстоящих точек. Результаты расчёта спектральных составляющих: