Построение кривых переходного процесса на основе разностных уравнений требует:
– получения разностного уравнения на основе заданного дифференциального уравнения;
– выбора шага дискретизации D t для обеспечения требуемой точности.
Разностные уравнения получаются путем замены в дифференциальных уравнениях дифференциалов левыми разностями на основе выражений:
(2.16)
где D t – шаг дискретизации;
i – аналог дискретного времени, представляющий собой целочисленное значение, характеризующее номер дискретного времени ti = i D t при равномерной дискретизации.
Линейное разностное уравнение n- го порядка обычно записывается в виде рекуррентной формулы вида
(2.17)
где 
и 
– коэффициенты разностного уравнения, определяемые через коэффициенты дифференциального уравнения и шаг дискретизации D t;
y (i), y (i - 1), …, y (i - n) – значения выходной переменной системы;
v (i), v (i - 1), …, v (i - m) – значения входной переменной
системы.
Кривая переходного процесса по разностному уравнению строится следующим образом:
1. Получается разностное уравнение на основе заданного дифференциального уравнения.
2. Задается начальный шаг дискретизации D t 0. При этом ориентируются на значения постоянных времени T 1, T 2,..., Tn. Зачастую D t 0 принимается равной 0,5 T min.
3. Формируются дискретные значения входного воздействия путем дискретизации его известного аналогового выражения, то есть
, (2.18)
где i = 0, 1, 2, 3,....
4. Рассчитываются значения кривой переходного процесса по полученному разностному уравнению с учетом дискретных значений входного воздействия.
5. Оценивается точность аппроксимации при выбранном шаге дискретизации D t 0. При этом кривая переходного процесса y (t) заменяется отрезками прямых линий (рисунок 2.7). Точность аппроксимации определяется по выражению
, (2.19)
где j – номер итерации (этапа) выбора шага дискретизации;
nj – число значений кривой переходного процесса, рассчитываемых по разностному уравнению, которое зависит как от величины шага дискретизации, так и от длительности переходного процесса.
При начальном шаге дискретизации определяется
величина E (0).
Изменяется шаг дискретизации (обычно в меньшую сторону) в зависимости от типа переходного процесса и значений параметров на величину (0,1¸0,5)D t 0 и повторяются этапы 3 – 5. И так до тех пор, пока шаг дискретизации не будет удовлетворять условию
. (2.20)
Рисунок 2.7 – Схема расчета ошибки аппроксимации
При этом необходимо учитывать, что с уменьшением D t увеличивается число рассчитываемых значений кривой переходного процесса. Если на первой итерации оказалось, что относительная ошибка аппроксимации (2.20) намного меньше 5%, то D t можно наоборот увеличить.
6. Строится результирующая кривая переходного процесса для выбранного шага дискретизации.
3 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ОЦЕНОК КАЧЕСТВА
РЕГУЛИРОВАНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ
ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
