Метод разностных уравнений

Построение кривых переходного процесса на основе разностных уравнений требует:

– получения разностного уравнения на основе заданного дифференциального уравнения;

– выбора шага дискретизации D t для обеспечения требуемой точности.

Разностные уравнения получаются путем замены в дифференциальных уравнениях дифференциалов левыми разностями на основе выражений:

(2.16)

где D t – шаг дискретизации;

i – аналог дискретного времени, представляющий собой целочисленное значение, характеризующее номер дискретного времени t_i = i D t при равномерной дискретизации.

Линейное разностное уравнение n- го порядка обычно записывается в виде рекуррентной формулы вида

(2.17)

где и – коэффициенты разностного уравнения, определяемые через коэффициенты дифференциального уравнения и шаг дискретизации D t;

y (i), y (i - 1), …, y (i - n) – значения выходной переменной системы;

v (i), v (i - 1), …, v (i - m) – значения входной переменной
системы.

Кривая переходного процесса по разностному уравнению строится следующим образом:

1. Получается разностное уравнение на основе заданного дифференциального уравнения.

2. Задается начальный шаг дискретизации D t ₀. При этом ориентируются на значения постоянных времени T ₁, T ₂,..., T_n. Зачастую D t ₀ принимается равной 0,5 T _min.

3. Формируются дискретные значения входного воздействия путем дискретизации его известного аналогового выражения, то есть

, (2.18)

где i = 0, 1, 2, 3,....

4. Рассчитываются значения кривой переходного процесса по полученному разностному уравнению с учетом дискретных значений входного воздействия.

5. Оценивается точность аппроксимации при выбранном шаге дискретизации D t ₀. При этом кривая переходного процесса y (t) заменяется отрезками прямых линий (рисунок 2.7). Точность аппроксимации определяется по выражению

, (2.19)

где j – номер итерации (этапа) выбора шага дискретизации;

n_j – число значений кривой переходного процесса, рассчитываемых по разностному уравнению, которое зависит как от величины шага дискретизации, так и от длительности переходного процесса.

При начальном шаге дискретизации определяется
величина E (0).

Изменяется шаг дискретизации (обычно в меньшую сторону) в зависимости от типа переходного процесса и значений параметров на величину (0,1¸0,5)D t ₀ и повторяются этапы 3 – 5. И так до тех пор, пока шаг дискретизации не будет удовлетворять условию

. (2.20)

 

Рисунок 2.7 – Схема расчета ошибки аппроксимации

При этом необходимо учитывать, что с уменьшением D t увеличивается число рассчитываемых значений кривой переходного процесса. Если на первой итерации оказалось, что относительная ошибка аппроксимации (2.20) намного меньше 5%, то D t можно наоборот увеличить.

6. Строится результирующая кривая переходного процесса для выбранного шага дискретизации.

 

3 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ОЦЕНОК КАЧЕСТВА
РЕГУЛИРОВАНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ
ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА