Уравнение, содержащее производные от искомой функции y = y(x), называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).
Общий вид дифференциального уравнения:
(7.1)
где n – наивысший порядок производной, определяет порядок уравнения.
Решением ОДУ называется функция y = y(x), которая после ее подстановки в уравнение (7.1) обращает его в тождество.
Общее решение ОДУ имеет вид:
(7.2)
где C1, C2, …, Cn – постоянные интегрирования.
Задача Коши. Все условия заданы в одной, начальной точке, поэтому они называются начальными условиями.
Примеры постановки задачи Коши:
Краевая задача. Условия заданы в более чем одной точке, обычно в начальной и конечной. Условия в этом случае называются краевыми или граничными. Такая задача может возникнуть только при решении ОДУ с порядком выше первого.
Примеры краевых задач:
Численные методы решения задачи Коши для ОДУ:
Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка
на отрезке 
при условии 
При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом 
, расчетными узлами служат точки 
промежутка [ x 0, xn ].
Целью является построение таблицы
| xi | x 0 | x 1 | … | xn |
| yi | y 0 | y 1 | … | yn |
т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.
Интегрируя уравнение на отрезке 
, получим
Воспользовавшись простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка
,
получаем явную формулу Эйлера:
, 
.
Порядок расчетов:
Зная 
, находим 
, затем 
т.д.
Геометрическая интерпретация метода Эйлера:
Пользуясь тем, что в точке x0 известно решение y (x 0) = y 0 и значение его производной 
, можно записать уравнение касательной к графику искомой функции 
в точке 
: 
. При достаточно малом шаге h ордината 
этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения 
, должна мало отличаться от ординаты y (x 1) решения y (x) задачи Коши. Следовательно, точка 
пересечения касательной с прямой x = x 1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую 
, которая приближенно отражает поведение касательной к в точке 
. Подставляя сюда 
(т.е. пересечение с прямой x = x 2), получим приближенное значение y (x) в точке x 2: 
и т.д. В итоге для i –й точки получим формулу Эйлера.
Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.
Если использовать формулу правых прямоугольников: 
, то придем к методу
, .
Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения 
по известному значению 
требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.
Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.
Модифицированный метод Эйлера: в данном методе вычисление 
состоит из двух этапов:
Данная схема называется еще методом предиктор – корректор (предсказывающее – исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.
Методы Рунге – Кутта: идея построения явных методов Рунге–Кутты p –го порядка заключается в получении приближений к значениям y (xi +1) по формуле вида
,
где
…………………………………………….
.
Здесь an, bnj, pn, 
– некоторые фиксированные числа (параметры).
При построения методов Рунге–Кутты параметры функции 
(an, bnj, pn) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.
Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
24.)
Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 1-го порядка).
Разобьем [a, b] на n равных частей – элементарных отрезков, x0, x1,…,xn будем называть узлами сетки, h = (b-a)/n - шаг сетки.
, 
; 
, 
.
Заменим в уравнении y’ в точке xi её приближенной оценкой – отношением приращений (это следует из определения производной):
Тогда получаем:
Отсюда формула Эйлера:
, 
– номер узла
Зная y0 в точке x0 (начальное условие) можно найти y1, затем, используя уже известные значения x1 и y1, вычислить x2 и y2 и так далее.
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода Эйлера. В координатах (x,y) отобразим известные данные: отрезок [a,b] на оси Х и начальное условие y0 – точка А с координатами (a, y0). Отрезок [a,b] разобьем на n равных частей, получим узлы равномерной сетки a = x0, x1, x2, …, xn = b. Вычислим значения первой производной искомой функции в точке А, используя координату этой точки и исходное уравнение y’ = f(x,y)
Полученное значение позволяет построить касательную к искомой функции в точке А. Эту касательную можно использовать для вычисления приближенного значения искомой функции в новом узле х1 (кривую y(x) заменяем на отрезком АВ на элементарном отрезке [x0, x1]).
 |
Геометрическая иллюстрация метода Эйлера.
Зная (x1,y1), можно аналогично получить новую точку (x2,y2) и т.д.
Алгоритм расчета новой точки методом Эйлера:
