Матричной форма СЛАУ- 
, где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.
Так как 
, то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица 
. Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных 
-решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.
Метод Гаусса - этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений
первый элемент 
. Назовем его ведущим элементом первой строки. Поделим все элементы этой строки на 
и исключим x1 из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при 
в соответствующей строке. Получим
.
Если 
, то, продолжая аналогичное исключение, приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей
.
Из нее в обратном порядке находим все значения xi:
.
Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных – обратным. В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода Гаусса неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому обычно используется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с выбором главного элемента. Путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных добиваются выполнения условия:
, j = i+1,i+ 2, …, m;
т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a11 был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x1 из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.
Алгоритм численного метода Гаусса:
Прямой ход.
а) Положить номер шага 
. Переобозначить все элементы расширенной матрицы 
через 
;
б) Выбрать ведущий элемент одним из двух способов.
Первый способ (схема единственного деления). Выбрать в качестве ведущего элемента 
.
Второй способ (схема с выбором ведущего элемента). На k-м шаге сначала переставить 
оставшихся уравнений так, чтобы наибольший по модулю коэффициент при переменной 
попал на главную диагональ, а затем выбрать в качестве ведущего элемента 
.
в) каждый элемент строки, в которой находится ведущий элемент, поделить на него:
г) элементы строк, находящихся ниже строки с ведущим элементом, подсчитать по правилу прямоугольника, схематически показанного на рис. 10.1 (исключить элементы, стоящие ниже ведущего элемента).
Пусть рассчитывается значение 
на k-м шаге. Следует соединить элемент 
с ведущим элементом . Получена одна из диагоналей прямоугольника. Вторую диагональ образует соединение элементов 
и 
. Для нахождения значения из его текущего значения вычитается произведение элементов и , деленное на ведущий элемент;
д) если 
, то перейти к пункту "б", где вместо 
положить 
.
Если 
, завершить прямой ход. Получена расширенная трапециевидная матрица из элементов 
, соответствующая 
.
2. Обратный ход. Составить систему 
и решить ее, начиная с последнего уравнения.
