|
использовать уже найденные значения 
Выражение для расчета очередного к-го приближения примет вид:
, 
; (5.11)
Для реализации данного приема, аналогичного методу Гаусса-Зейделя для систем линейных уравнений, в алгоритм расчета следует внести изменения: формулу расчета очередного приближения (символ 5) записать как X=φ(x) или в развернутом виде:
,
Существуют и другие приемы улучшения сходимости метода простых итераций. Например, новое приближение вычислять как среднее арифметическое двух предшествующих приближений:
, (5.12)
Можно использовать поправку Эйткена для улучшения сходимости:
,
Постановка задачи
Дана система 
нелинейных уравнений с неизвестными:
где 
, — нелинейные функции, определенные и непрерывные в некоторой области 
, или в векторном виде (где)
Требуется найти такой вектор 
, который при подстановке в систему (3.22) превращает каждое уравнение в верное числовое равенство.
Решить методом простых итераций.
для применения метода требуется привести систему (3.22) к равносильному виду:
| (3.24) |
или в векторной форме
| (3.25) |
где 
, функции 
определены и непрерывны в окрестности изолированного решения 
системы (3.24).
17.)
Аппроксимацией (приближением) функции 
называется нахождение такой функции 
(аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной.
Функция f(x), в зависимости от специфики задачи, может отвечать различным требованиям.
· Функция f(x) должна проходить через точки (xi,yi), т. е. f(xi)=yi,i=1...n. В этом случае говорят об интерполяции данных функцией f(x) во внутренних точках между xi, или экстраполяции за пределами интервала, содержащего все xi.
· Функция f(x) должна некоторым образом (например, в виде определенной аналитической зависимости) приближать y(xi), не обязательно проходя через точки (xi,yi). Такова постановка задачи регрессии, которую во многих случаях также можно назвать сглаживанием данных.
· Функция f(x) должна приближать экспериментальную зависимость y(xi), учитывая, к тому же, что данные (xi,yi) получены с некоторой погрешностью, выражающей шумовую компоненту измерений. При этом функция f(x), с помощью того или иного алгоритма уменьшает погрешность, присутствующую в данных (xi,yi). Такого типа задачи называют задачами фильтрации. Сглаживание - частный случай фильтрации.
Критерии близости функций 
и 
могут быть различные.
В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.
В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.
Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:
- Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).
- Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т. е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.)
