Задания для самостоятельного решения

 

I уровень

1.1. Проверьте, справедливо ли равенство:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

1.2. Вычислите:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

1.3. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

1.4. Найдите область определения функции:

1) 2)

1.5. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

1.6. Постройте на единичной окружности угол такой, что:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

 

II уровень

 

2.1. Вычислите:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10) ;

11) .

2.2. Сравните числа:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.3. Решите уравнение:

1)

2)

3)

4)

5)

2.4. Найдите область определения функции:

1) 2) ;

3) ;

4) ;

5) .

2.5. Постройте график функции:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2.6. Постройте на единичной окружности угол такой, что:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

 

 

III уровень

3.1. Вычислите:

1) 2)

3) 4)

5)

6)

7)

8)

10)

3.2. Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) ;

8) ;

9) .

3.3. Решите неравенство:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

3.4. Известно, что числа являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите .

3.5. Постройте график функции:

1) , ;

2) ;

3) ;

4) .

3.6. Постройте на единичной окружности угол такой, что:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

 

Тригонометрические уравнения

 

Приведем основные типы уравнений.

 

I. Простейшие тригонометрические уравнения

 

Уравнение

(18)

Если то уравнение (18) решений не имеет, так как

Если то уравнение имеет решение, которое находится по формуле:

(19)

Частные случаи уравнения (18):

уравнение решение ;

уравнение решение ;

уравнение решение

 

Уравнение

(20)

Если то уравнение решений не имеет, так как

Если то уравнение (20) имеет решение, которое находится по формуле:

(21)

Частные случаи уравнения (20):

уравнение решение ;

уравнение решение ;

уравнение решение

 

 

Уравнение

. (22)

Решение уравнения (22) находят по формуле:

(23)

 

Уравнение

(24)

Решение уравнения (24) находят по формуле:

(25)

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

и воспользуемся формулой (19):

.

Используем нечетность функции :

, ,

Из последнего равенства находим:

что приводит к ответу

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся частным случаем решения уравнения типа (20):

приходим к ответу

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Найдем решение по формуле (25):

.

Получаем ответ:

 

 

II. Уравнения, решаемые разложением на множители

Пример 4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: , .

Преобразуем уравнение следующим образом:

откуда

или

Решаем совокупность:

Однако решение не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения. Поэтому получаем ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Используя формулу запишем уравнение в виде:

откуда

Решаем совокупность:

Получаем ответ:

 

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Используем формулу приведения и запишем уравнение в виде:

Преобразуем по формуле суммы косинусов:

откуда получаем совокупность:

Приходим к ответу:

 

III. Уравнения, решаемые с помощью формул

Преобразования произведения тригонометрических

Функций в сумму

 

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Преобразуем произведение в сумму, получим

;

Преобразуем в сумму произведение :

,

Используем формулу приведения и представим последнее уравнение в виде

Преобразуем полученную сумму синусов в произведение:

.

Получаем уравнение

которое решаем по формуле (21):

.

Получаем ответ

IV. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной

 

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является квадратным относительно Заменяем получим уравнение Его корни и Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению совокупности простейших уравнений:

Уравнение корней не имеет, т.е.

Решением второго является

.

Получаем ответ:

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Используем тождество и формулу . Уравнение сводится к виду:

Мы получили квадратное уравнение относительно Заменяем получим уравнение откуда

Приходим к совокупности простейших уравнений:

Получаем ответ:

Пример 10. Найти сумму корней уравнения

если

Решение. ОДЗ: поскольку ,

Упростим исходное уравнение:

Получили квадратное уравнение относительно Сделав замену где имеем уравнение откуда или

Вернувшись к прежней неизвестной, получим совокупность уравнений

Первое уравнение не имеет решения. Решаем второе:

;

.

Придаем значение ; получаем

;

при имеем .

Нетрудно убедиться, что при всех других значениях n корни не попадут на отрезок Значит сумма корней, принадлежащих отрезку равна

Ответ:

 

V. Однородные уравнения

 

Однородным тригонометрическим уравнениями n-й степени относительно и , называется уравнение вида

(26)

где – действительные числа,

В уравнении (26) так как при исходное уравнение примет вид: откуда что невозможно, поскольку и не могут одновременно равняться нулю.

Разделив исходное уравнение на получим:

С помощью замены имеем алгебраическое уравнение

,

которое решаем и возвращаемся к старой переменной.

 

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Разделив уравнение на получим откуда и

Ответ:

Пример 12. Решить уравнение

Решение. Используя формулу приведем данное уравнение к однородному:

Разделим почленно на

откуда

Введем замену и получим уравнение корнями которого будут

После чего перейдем к решению совокупности простейших уравнений:

Получили ответ:

 

VI. Неоднородные уравнения 2-й степени

 

Неоднородным тригонометрическим уравнением 2-й степени называется уравнение вида

(27)

Используя основное тригонометрическое тождество приводим уравнение к однородному

,

которое решаем далее как уравнение типа (26).

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Используя формулы и

преобразуем данное уравнение к однородному:

Разделим на

Введем замену

откуда

Решим совокупность уравнений:

Получили ответ: