I уровень
1.1. Проверьте, справедливо ли равенство:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
1.2. Вычислите:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
1.3. Решите уравнение:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
1.4. Найдите область определения функции:
1) 
2) 
1.5. Постройте график функции:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
1.6. Постройте на единичной окружности угол 
такой, что:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
.
II уровень
2.1. Вычислите:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
;
11) 
.
2.2. Сравните числа:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
2.3. Решите уравнение:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
2.4. Найдите область определения функции:
1) 
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
2.5. Постройте график функции:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
2.6. Постройте на единичной окружности угол такой, что:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
.
III уровень
3.1. Вычислите:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
10) 
3.2. Решите уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
;
8) 
;
9) 
.
3.3. Решите неравенство:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
3.4. Известно, что числа 
являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите 
.
3.5. Постройте график функции:
1) 
, 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
3.6. Постройте на единичной окружности угол такой, что:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
.
Тригонометрические уравнения
Приведем основные типы уравнений.
I. Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнение
(18)
Если 
то уравнение (18) решений не имеет, так как 
Если 
то уравнение имеет решение, которое находится по формуле:
(19)
Частные случаи уравнения (18):
уравнение 
решение 
;
уравнение 
решение 
;
уравнение 
решение 
Уравнение
(20)
Если то уравнение решений не имеет, так как 
Если то уравнение (20) имеет решение, которое находится по формуле:
(21)
Частные случаи уравнения (20):
уравнение 
решение 
;
уравнение 
решение 
;
уравнение 
решение 
Уравнение
. (22)
Решение уравнения (22) находят по формуле:
(23)
Уравнение
(24)
Решение уравнения (24) находят по формуле:
(25)
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде
и воспользуемся формулой (19):
.
Используем нечетность функции 
:
, ,
Из последнего равенства находим:
что приводит к ответу
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Воспользуемся частным случаем решения уравнения типа (20):
приходим к ответу
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Найдем решение по формуле (25):
.
Получаем ответ: 
II. Уравнения, решаемые разложением на множители
Пример 4. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: 
, .
Преобразуем уравнение следующим образом:
откуда
или
Решаем совокупность:
Однако решение 
не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения. Поэтому получаем ответ:
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Используя формулу 
запишем уравнение в виде:
откуда
Решаем совокупность:
Получаем ответ:
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Используем формулу приведения и запишем уравнение в виде:
Преобразуем по формуле суммы косинусов:
откуда получаем совокупность:
Приходим к ответу:
III. Уравнения, решаемые с помощью формул
Преобразования произведения тригонометрических
Функций в сумму
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Преобразуем произведение 
в сумму, получим
;
Преобразуем в сумму произведение 
:
,
Используем формулу приведения и представим последнее уравнение в виде
Преобразуем полученную сумму синусов в произведение:
.
Получаем уравнение
которое решаем по формуле (21):
.
Получаем ответ
IV. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной
Пример 8. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение является квадратным относительно 
Заменяем 
получим уравнение 
Его корни 
и 
Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению совокупности простейших уравнений:
Уравнение 
корней не имеет, т.е. 
Решением второго является
.
Получаем ответ:
Пример 9. Решить уравнение
Решение. Используем тождество 
и формулу 
. Уравнение сводится к виду:
Мы получили квадратное уравнение относительно 
Заменяем 
получим уравнение 
откуда 
Приходим к совокупности простейших уравнений:
Получаем ответ:
Пример 10. Найти сумму корней уравнения
если 
Решение. ОДЗ: 
поскольку 
, 
Упростим исходное уравнение:
Получили квадратное уравнение относительно 
Сделав замену 
где 
имеем уравнение 
откуда 
или 
Вернувшись к прежней неизвестной, получим совокупность уравнений
Первое уравнение не имеет решения. Решаем второе:
;
.
Придаем 
значение 
; получаем
;
при 
имеем 
.
Нетрудно убедиться, что при всех других значениях n корни не попадут на отрезок 
Значит сумма корней, принадлежащих отрезку 
равна
Ответ: 
V. Однородные уравнения
Однородным тригонометрическим уравнениями n-й степени относительно 
и 
, называется уравнение вида
(26)
где 
– действительные числа, 
В уравнении (26) 
так как при 
исходное уравнение примет вид: 
откуда 
что невозможно, поскольку и 
не могут одновременно равняться нулю.
Разделив исходное уравнение на 
получим:
С помощью замены 
имеем алгебраическое уравнение
,
которое решаем и возвращаемся к старой переменной.
Пример 11. Решить уравнение
Решение. Разделив уравнение на 
получим 
откуда 
и 
Ответ: 
Пример 12. Решить уравнение
Решение. Используя формулу 
приведем данное уравнение к однородному:
Разделим почленно на 
откуда
Введем замену 
и получим уравнение 
корнями которого будут 
После чего перейдем к решению совокупности простейших уравнений:
Получили ответ:
VI. Неоднородные уравнения 2-й степени
Неоднородным тригонометрическим уравнением 2-й степени называется уравнение вида
(27)
Используя основное тригонометрическое тождество приводим уравнение к однородному
,
которое решаем далее как уравнение типа (26).
Пример 13. Решить уравнение
Решение. Используя формулы 
и
преобразуем данное уравнение к однородному:
Разделим на 
Введем замену 
откуда 
Решим совокупность уравнений:
Получили ответ:
