Обратные тригонометрические функции

Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арксинусом.

Арксинусом числа х, где называется такое число у, синус которого равен числу х.

Обозначают:

Таким образом, – это угол у, измеренный в радианах, такой, что .

Свойства:

;

;

где

где

График функции приведен на рис.15.

 

Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом.

Арккосинусом числа х, где называется такое число у, косинус которого равен числу х.

Обозначают:

Таким образом, это угол , измеренный в радианах, такой, что .

Свойства:

где

где

График функции приведен на рис.16.

 

Рис.15 Рис.16

 

Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом.

Арктангенсом числа х, называется такое число у, что тангенс которого равен числу х.

Обозначают: .

Таким образом, это угол , измеренный в радианах, такой, что .

Свойства:

где

где

График функции приведен на рис. 17

 

Рис. 17

 

Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом.

Арккотангенсом числа х, называется число у, котангенс которого равен числу х.

Обозначается: .

Таким образом, это угол , измеренный в радианах, такой, что .

Свойства:

где

где

График функции приведен на рис. 18

 

 

Рис. 18

Для обратных тригонометрических функций выполняются следующие равенства:

(16)

(17)

Пример 1. Проверить, справедливы ли равенства:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) так как и . Равенство верно.

2) так как и . Равенство верно.

3) так как и . Равенство верно.

4) так как и Равенство верно.

 

Пример 2. Вычислить:

Решение. Вычислим слагаемые отдельно, чтобы прокомментировать действия.

функция нечетная и , т.к. и . Поэтому

.

(по свойству) и т.к. и . Поэтому

.

, т.к. и .

(по свойству) и т.к. и . Поэтому

Таким образом,

Получили ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Поскольку то

, т.е.

.

Находим:

откуда приходим у ответу

Пример 4. Найти область значений функции

Решение. Поскольку то

и

Ответ:

Пример 5. Вычислить .

Решение. Используя свойство функции для отрицательного аргумента и формулу приведения для , получаем

Для дальнейших вычислений необходимо выразить функцию через , чтобы воспользоваться затем формулой , . Из формулы выражаем

, если .

Для нашего случая имеем

.

Пример 6. Построить график функции .

Решение. Для построения будем использовать правила преобразования графика функции (рис. 15).

Рассмотрим последовательность преобразований, позволяющих из графика функции получить график функции . Преобразуем данную функцию следующим образом:

.

Выполним построение поэтапно.

1. График функции может быть получен из графика путем растяжения вдоль оси в 3 раза (рис. 19)

 

 

Рис. 19

2. График функции может быть получен из графика функции путем сжатия вдоль оси в 2 раза (рис. 20).

 

 

Рис. 20

3. График функции может быть получен из графика функции путем параллельного переноса вдоль оси на влево (рис. 21)

 

 

Рис. 21

4. График функции получаем из графика путем параллельного переноса вдоль оси на единиц вниз (рис. 22).

 

Рис. 22

 

Пример 7. Построить на единичной окружности угол такой, что

1) ; 2) .

Решение. 1. Воспользуемся определением синуса. Равенству соответствуют два угла и (рис. 23)

 

 

Рис. 23

 

2. По определению арксинуса . На данном отрезке существует только один угол, синус которого равен , т.е. (рис. 24.)

 

 

Рис. 24

 

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Формула (16) позволяет перейти к системе

(17)

Пусть , где Тогда система (17) приобретает вид

Решим последнюю систему и получим

или

Отсюда или

Обе эти системы имеют решение. Из первой системы получаем , а вторая дает .

Получаем ответ: