При рассмотрении графиков тригонометрических функций предполагается, что числовой аргумент представляет угол, измеренный в радианах.
Соответствие, при котором каждому действительному числу х сопоставляется синус этого числа, называют функцией синус и обозначают 
Свойства функции 
приведены в табл. 4.
Графиком функции является кривая, называемая синусоидой (рис. 7).
Рис. 7
Соответствие, при котором каждому действительному числу х сопоставляется косинус этого числа, называют функцией косинус и обозначают 
Свойства функции 
приведены в табл..
Графиком функции является кривая, называемая косинусоидой (рис. 8).
 |
Рис. 8
Соответствие, при котором каждому действительному числу 
сопоставляется тангенс этого числа, называется функцией тангенс и обозначается 
Свойства функции 
приведены в табл. 4.
Графиком функции является кривая, называемая тангенсоидой (рис. 9).
Рис. 9
Соответствие, при котором каждому действительному числу 
сопоставляется котангенс этого числа, называется функцией котангенс и обозначается 
Свойства функции 
приведены в табл. 4.
График функции приведен на рис. 10.
Рис. 10
Т а б л и ц а 4
| Свойства функции | Функция | |||
| 
| 
| 
| |
| 1. Область определения функции | R | R | 
| 
|
| 2. Область значений функции | 
|
| R | R |
| 3. Четность / нечетность | нечетная | четная | нечетная | нечетная |
| 4. Наименьший положительный период | 
|
| 
|
|
| 5. Координаты точек пересечения графика: с осью O x; | 
| 
|
| 
|
| c осью O y | (0;0) | (0;1) | (0;0) | нет |
| 6. Промежутки возрастания функции | 
| 
| 
| нет |
| 7.Промежутки убывания функции | 
| 
| нет | 
|
| 8. Экстремумы функций: точки минимума | 
| 
| нет | нет |
| минимум функции | -1 | -1 | нет | нет |
| точки максимума | 
| 
| нет | нет |
| максимум функции | нет | нет | ||
| 9. Промежутки знакопостоянства функции: промежутки, на которых функция принимает положительные значения |
| 
| 
|
|
| промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения |
| 
| 
|
|
Пример 1. Найти область определения функции 
Решение. Должно выполняться 
х Î Z, т.е.
Таким образом, D (у): 
, 
Пример 2. Найти область значений функции 
Решение. Используя формулу двойного угла для синуса, получим 
Так как функция 
ограничена, то 
тогда 
и 
Таким образом, 
Пример 3. Выяснить, является ли функция 
четной или нечетной
Решение. Функцию можно исследовать на четность или нечетность, если область определения функции является симметричным относительно нуля множеством и выполняется одно из равенств. В данном случае D (у)= 
- симметричное относительно нуля множество. Рассмотрим 
В силу четности косинуса и нечетности синуса, получим
Таким образом, выполняется 
Значит, данная функция является нечетной.
Пример 4. Сравнить числа 
и 
Решение. Используем свойство монотонности функции 
на определенных промежутках. Углы 
и 
принадлежат отрезку 
на котором функция 
убывает, и при этом > 
Используя свойство убывающей функции, по которому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, приходим к ответу: 
Пример 5. Найти наименьший положительный период функции 
Решение. Преобразуем
Используя формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получим функцию 
график которой получается из графика функции с периодом 
Воспользуемся правилом нахождения периода Т' функции, полученной путем некоторых преобразований периодической функции 
с периодом 
: 
.
Таким образом, наименьший положительный период функции а значит и функции 
равен 
Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
Решение. Используем формулу приведения и формулу преобразования суммы функций в произведение: 
Так 
то 
Таким образом, 
а 
Пример 7. Построить график функции 
Решение. Для построения будем использовать правила преобразования графика элементарной функции 
параллельный перенос вдоль осей О х и О у, сжатие и растяжение графика функции.
Рассмотрим последовательность преобразований, позволяющих из графика функции 
получить график функции Для начала преобразуем данную функцию следующим образом: 
Выполним построение поэтапно.
1. График функции 
может быть получен из графика путем растяжения вдоль оси О у в 2 раза (рис. 11).
 |
Рис. 11
2. График функции 
может быть получен из графика функции путем сжатия вдоль оси О х в 2 раза (рис. 12);
Рис. 12
3. График функции 
может быть получен из графика путем параллельного переноса вдоль оси О х на 
единиц вправо (рис. 13);
Рис. 13
4. График 
получаем из графика путем параллельного переноса вдоль оси О у на 3 единицы вверх (рис. 14).
Рис. 14
