Рассмотрим однородную систему
.
Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет тривиальное (нулевое) решение 
. Выясним, когда данная система имеет нетривиальное решение.
Теорема 1. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, меньше числа неизвестных.
Доказательство. Пусть система совместна. Это может быть тогда и только тогда, когда найдутся числа с 1, с 2, …, с n, при подстановке которых в систему мы получим m тождеств. Эти m тождеств можно записать в виде
.
Следовательно, система векторов-столбцов матрицы А линейно зависима. А это может быть тогда и только тогда, когда ранг системы векторов-столбцов меньше n, т.е. r(A)<n.
Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.
Доказательство. Так как r(A)<n, то столбцы матрицы линейно зависимы и, следовательно, определитель матрицы равен нулю.
№17
Основные определения.
Пусть К – поле. Элементы поля К мы будем называть скалярами. Под полем К можно понимать или поле действительных чисел или поле комплексных чисел.
Определение. Матрицей размера 
над полем К называется таблица элементов поля К, имеющую 
строк и 
столбцов.
Обозначение:
.
Определение. Элементы 
называются элементами матрицы, где i – номер строки, в которой находится элемент 
, j – номер столбца.
Определение. Матрица размеров 
:
называется строкой длины .
Определение. Матрица размеров 
:
называется столбцом высоты .
Определение. Матрица размеров 
называется квадратной матрицей – го порядка.
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
В квадратной матрице выделяют две диагонали, как диагонали квадрата: главную диагональ и побочную диагональ.
Главную диагональ образуют элементы 
, т.е. элементы с одинаковыми нижними индексами.
Побочную диагональ образуют элементы 
.
Определение. Квадратная матрица, в которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной:
.
Определение. Матрица В размера 
называется транспонированной по отношению к матрице А размера , если к – й столбец матрицы В состоит из элементов к – й строки матрицы А, для всех 
.
Обозначение: 
.
Определение. Процесс (процедура) получения транспонированной матрицы из данной называется транспонированием матрицы.
Пример:
, 
.
Определение. Две матрицы 
и 
называются равными, если они имеют одинаковые размеры и для всех значений индексов выполняется равенство 
.
