Смешанное расширение бескоалиционной игры

В антагонистическом случае ситуация равновесия в обычных чистых стратегиях, вообще говоря, не существует. Даже матричные игры в общем случае имеют ситуацию равновесия лишь в смешанных стратегиях. Поэтому естественно искать равновесие по Нэшу в бескоалиционной игре в классе смешанных стратегий. В случае двукомпонентной смешанной стратегии , вектор Х полностью определяется своей первой компонентой х. Поэтому, в таких случаях будем часто использовать запись u(x) вместо u(X).

Пусть в игре «семейный спор» первый игрок хочет максимально увеличить свой гарантированный выигрыш. Это означает, что он намерен выбрать свою смешанную стратегию так, чтобы максимально увеличить наименьшую из двух величин: и . Максиминная стратегия первого игрока имеет вид и дает ему средний гарантированный выигрыш . Аналогично, максиминная стратегия второго игрока имеет вид , а средний гарантированный выигрыш .

Если первый игрок придерживается своей максиминной стратегии, а второй игрок выберет первую стратегию, то он получит выигрыш 1/3. Если же второй игрок выбирает вторую чистую стратегию, то он получает 4/3, что больше его максимального гарантированного результата. Аналогичным образом, если второй игрок придерживается своей максиминной стратегии, а первый игрок выберет первую стратегию, то он получит выигрыш 4/3, что больше его максимального гарантированного результата. Если же первый игрок выбирает вторую чистую стратегию, то он получает 1/3. Мы видим, что ситуация, состоящая из максиминных стратегий, не является равновесной. Заметим, что если оба игрока одновременно попытаются заменить свои смешанные стратегии на «более выгодные» чистые, то оба получат 0.

Мы видим, что выбор максиминной стратегии не обеспечивает, вообще говоря, равновесности возникающей ситуации. Возникает вопрос, можно ли выбрать смешанную стратегию так, чтобы она была равновесной? Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Пусть G – биматричная игра. Тогда существуют смешанные стратегии X* и Y* игроков 1 и 2 соответственно, такие, что пара (X*,Y*) является ситуацией равновесия по Нэшу .

Напомним, что для матричных игр каждая существенная чистая стратегия уравновешивает любую оптимальную стратегию противника. Аналогичный результат справедлив и для биматричных игр. Приведем его без доказательства.

Теорема. Пусть G(A,B) – биматричная игра с матрицами выигрышей игроков А и В, и пусть - ситуация равновесия в смешанных стратегиях. Тогда выполняются равенства:

(3.7)

(3.8)

где i и j – любые существенные стратегии игроков 1 и 2.

Данная теорема дает способ нахождения оптимальных смешанных стратегий игроков в игре G(A,B). Действительно, предположим, что мы ищем ситуацию равновесия (X,Y), считая множества существенных стратегий игроков (спектры) заданными. Тогда оптимальные стратегии должны удовлетворять системе линейных уравнений:

(3.9)

где - i-ая строка матрицы А, - j-ый столбец матрицы В, а - некоторые числа. Если же ситуация равновесия вполне смешанная, то есть все чистые стратегии являются существенными, то система (3.9) принимает вид:

(3.10)

где - выигрыши игроков в ситуации равновесия (X,Y).

Теорема. Пусть G(A,B) – биматричная квадратная игра и матрицы А и В – невырожденные (). Если игра G(A,B) имеет вполне смешанную ситуацию равновесия, то она единственная и вычисляется по формулам:

(3.11)

где

(3.12)

Доказательство: Если (X,Y) – вполне смешанная ситуация равновесия, то X и Y с необходимостью удовлетворяют системе (3.10). Умножим первое из равенств (3.10) слева на , а второе справа на , получим (3.11). Далее, умножая (3.11) справа и слева на вектор , состоящий из единиц, и учитывая, что , получаем (3.12). Единственность вполне смешанной ситуации (X,Y) следует из единственности решения системы (3.10) в условиях теоремы.

Справедливо и обратное утверждение. Если пара векторов удовлетворяет (3.11) и (3.12), то она образует ситуацию равновесия в смешанных стратегиях с вектором равновесных выигрышей (3.12).

Проиллюстрируем данную теорему на примере игры «семейный спор». Она удовлетворяет условиям теоремы. Согласно (3.12) . Согласно (3.11) , . Нетрудно убедиться, что .