Основы теории игр
Предмет теории игр и основные понятия
“…… теория игр представляет собой набор инструментов для построения моделей в экономической и политической теориях”
Э. Мулен
Вводные замечания. Классификация игр.
На практике в большинстве случаев приходится принимать решения в условиях несовпадения интересов действующих сторон. Раздел математики, в котором исследуются математические модели принятия решений в условиях несовпадения интересов сторон, когда каждая стремится воздействовать на развитие ситуации в своих собственных интересах, называется теорией игр..Под игрой понимают идеализированную математическую модель коллективного поведения, когда: несколько индивидуумов (участников, игроков) влияют на ситуацию (исход игры), причем их интересы (выигрыши при различных возможных ситуациях) различны. Антагонизм интересов рождает конфликт, в то время как совпадение интересов сводит игру к чистой координации. В большинстве игр, возникающих из анализа политических или социально-экономических ситуаций, интересы не являются ни строго антагонистическими, ни точно совпадающими. Продавец и покупатель согласны, что в их общих интересах договориться о продаже, конечно, при условии, что сделка выгодна обоим. Однако они энергично торгуются при выборе конкретной цены в пределах, определяющихся условиями взаимной выгодности сделки. Большинство напоминающих игры ситуаций общественной жизни порождают как конфликтное, так и кооперативное поведение. Теория игр является полезным логическим аппаратом для анализа мотивов поведения участников в подобных ситуациях. Она располагает целым арсеналом формализованных сценариев поведения, начиная с некооперативного поведения и до кооперативных соглашений с использованием взаимных угроз.
Таким образом теорию игр можно рассматривать как теорию математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, когда принимающий решение субъект (ЛПР – «игрок») располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он находится в действительности, о множестве решений («стратегий»), которые он может принять, и о количественной мере того «выигрыша», который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию..Причем неопределенность в теории игр является следствием сознательной деятельности другого лица, отстаивающего свои интересы. Игры можно классифицировать по различным признакам: а)по наличию коалиций – бескоалиционные, включая кооперативные, и коалиционные; б) по выигрышу игры – на игры с противоположными интересами (антагонистические) и игры с непротивоположными интересами (игры с ненулевой суммой); в) по характеру получения информации – игры в нормальной форме (вся информация у игроков имеется до начала игры) и динамические игры (информация игрокам поступает в процессе игры); г) по количеству стратегий – на конечные и бесконечные игры.
В теории игр имеется три основных формы представления игры. Это 1) расширенная форма (дерево игры), 2) нормальная форма (стратегические матрицы) и 3) форма характеристической функции. Форма представления игры выбирается в зависимости от класса. Простейшей является игра с двумя игроками, а множество стратегий конечно. Такую игру удобнее всего представлять в нормальной форме. Для каждой игры в нормальной форме использование различных кооперативных и некооперативных концепций равновесия, как правило, приводит к различным исходам. Их сравнение является основным принципом теоретико-игрового анализа и, по-видимому, источником строгих и вместе с тем содержательных рассуждений о побудительных мотивах поведения, вытекающих только из структуры игры в нормальной форме.
Предварительные понятия
В игре участвуют игроки. Множество игроков обозначается буквой N. В конкретный игре игроки могут иметь имена, однако в общетеоретическом плане игроков обычно нумеруют (первый игрок, второй игрок и т.д.). Таким образом, элементами множества N можно считать числа – номера игроков. Например, если в игре участвуют три игрока, то N={1, 2, 3}.
Каждый игрок имеет множество действий (альтернатив), которые он может осуществлять. Если каждый из игроков осуществил какое-то действие, то говорят, что реализовался исход игры. Исходы имеют для игроков разную ценность. Рациональный игрок должен стремиться к достижению как можно более благоприятного для себя исхода. Однако никакой игрок не в состоянии обеспечить наилучший для себя исход только за счет собственных действий. Принимая решение о выборе действия, он должен учитывать интересы и возможные действия других игроков, влияющие на исход игры. В этом состоит отличие теоретико-игровой постановки задачи принятия решений от задачи оптимизации.
