Тема 11.Динамическая нагрузка 3 страница

 

Пример 4. Для поперечного сечения (рис. 4, а) требуется: определить положение центра тяжести;найти осевые и центробежный моменты инерции относительно случайных центральных осей; определить направления главных центральных осей; найти главные центральные моменты инерции; вычертить сечение в масштабе 1:1 с указанием осей и размеров.

Дано: уголок № 90´90´9 (рис. 4, б);швеллер № 16 (рис. 4, в).

 

Рис. 4, а

 

 

Уголок № 90´90´9

Рис. 4, б

ГОСТ 8509-93;

; ;

; ;

.

Все размеры на рис.4, б указаны в сантиметрах.

 

 

Рис. 4, в

 

Швеллер № 16ГОСТ 8240-93;

;

;

;

.

Все размеры на рис.4, в указаны в сантиметрах.

 

 

Р е ш е н и е.

1. Найдём центр тяжести заданного сечения в координатах , (рис. 4, г):

 

 

Через точку С ( 5,84; 2,93) проводим взаимно перпендикулярные координатные оси . Относительно осей находим координаты точек , . Получаем: (–5,84; –2,93); (5,04; 2,52).

Проверяем положение центра тяжести:

 

; = 0,2 %;

; = 0,13 %.

 

Рис. 4, г

u

v

2,55

5,45

2,52

2,93

5,84

5,04

10,88

4,43

1,97

6,45

2,55

 

Статические моменты относительно осей получились близкими к нулю, следовательно, точка пересечения осей является центром тяжести, а сами оси – центральными осями заданного сечения.

2. Вычисляем моменты инерции относительно осей :

;

;

.

3. Поскольку , найдём положение главных центральных осей:

;

; ; ; ; ; .

Поворачивая оси против часовой стрелки на угол , получаем главные центральные оси .

4. Найдём главные центральные моменты инерции:

; ;

; .

Проверка:

; ; ; ;

;

.

Задача 5

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ

Задание. Для двух балок (рис. 5) требуется написать выражениядля поперечных сил Q и изгибающих моментов M на каждом участке в общем виде, построить эпюры Q и M, найти и подобрать: для схемы "а" деревянную балку с круглым поперечным сечением при R = 10 МПа; для схемы "б" – стальные балки с круглым, квадратным и двутавровым поперечными сечениями при R = 210 МПа; для схемы "б" сравнить площади полученных сечений. Данные взять из табл. 5.

 

Рис. 5

2а

2б

c

b

a

q

M

a

c

b

a

q

P

M

c

b

a

q

P

3а

3б

a

a

c

b

q

P

M

c

b

a

q

P

4а

4б

a

c

b

a

q

P

M

1а

1б

c

b

a

M

q

P

a

c

b

a

M

q

7а

7б

c

b

a

q

M

a

c

b

a

q

P

M

q

q

c

b

a

P

8а

8б

a

a

c

b

P

M

c

b

a

q

P

9а

9б

a

c

b

a

q

P

M

6а

6б

c

b

a

M

q

P

a

c

b

a

M

q

5а

5б

a

c

b

a

P

M

q

c

b

a

q

P

0а

0б

a

c

b

a

P

M

q

c

b

a

q

P

 

 

Таблица 5

№ строки	№ схемы	a, м	b, м	c, м	M, кН × м	q, кН/м	P, кН
		1,1	1,1	1,1	1,1	1,1	1,1
		1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2
		1,3	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3
		1,4	1,4	1,4	1,4	1,4	1,4
		1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5
		1,6	1,6	1,6	1,6	1,6	1,6
		1,7	1,7	1,7	1,7	1,7	1,7
		1,8	1,8	1,8	1,8	1,8	1,8
		1,9	1,9	1,9	1,9	1,9	1,9
		2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0
	е	а	б	в	г	д	е

 

 

Пример 5.Для балки (рис. 5, а) требуется написать выражения для Q и M на каждом участке в общем виде, построить эпюры Q и M, найти M _макс и подобрать номер двутавра.

Дано: а = 3 м; b = 4,2 м; c = 2,3 м; = 12,5 м; M = 8 кН × м; P = 11 кН; q = 13 кН/м; R = 160 МПа.

M = 8кН × м

c = 2,3 м

b = 4,2 м

а = 3 м

P = 11 кН

q = 13 кН/м

Рис. 5, а

l = 12,5 м

 

 

Решение. Покажем и вычислим реакции опор (рис. 5, б):

R_D (а + b + d)- Pа - qb (а + b /2)- M = 0;

R_D (3+4,2+3)-11 × 3-13×4,2×5,1-8 = 0; R_D = 31,32 кH.

R_A (а + b + d)- P (b + d)- qb (d + b / 2)+ M = 0;

 

R_A (3+4,2+3)-11×(4,2+3)-13×4,2×5,1+8 = 0; R_A = 34,28 кH.

Проверка реакций опор: R_A - P - qb + R_D = 0;34,28-11-13×4,2+31,32=65,6-65,6 = 0.

Реакции опор найдены верно.

Рис. 5, б

y

z 4

z 3

z 2

z 1

B

C

D

A

d = 3 м

RD = 31,32 кН

RA = 34,28 кН

M = кН × м

c = 2,3 м

b = 4,2 м

а = 3 м

P = 11 кН

q = 13 кН/м

E

l = 12,5 м

 

 

Вычисляем значения Q и M на участках.

●Участок AB: z ₁Î[0;3]; Q (z ₁) = R_A; Q (z ₁) = 34,28 кН;

М (z ₁) = R_Az ₁; М (z ₁) = 34,28 z ₁; М (0) = 0; М (3) = 102,84кН × м.

Проверка: ; .

●Участок BС: z ₂Î[0;4,2]; Q (z ₂) = R_A - P - qz ₂; Q (z ₂) = 34,28- 11-13 z ₂; Q (0) = 23,28 кН;

Q (4,2) =-31,32 кН; Q (z ₂) = 0при z ₂= (34,28-11)/13 = 1,79 м;

М (z ₂) = R_A (а + z ₂)- Pz ₂ - qz ₂ z ₂/2; М (z ₂) = 34,28(3+ z ₂)- 11 z ₂-13 z ₂ z ₂/2;

М (0) = 102,84кН × м; М (1,79) = 123,68кН × м; М (4,2) = 85,96кН × м.

Проверка: ; .

●Участок СD: z ₃Î[0;3]; Q (z ₃) = - R_D; Q (z ₃) = -31,32 кН;

М (z ₃) = R_Dz ₃- М; М (z ₃) = 31,32 z ₃-8; М (3) = 85,96кН×м; М (0) = -8кН×м.

Проверка: ; .

●Участок DE: z ₄Î[0; 2,3]; Q (z ₄) = 0; М (z ₄) = - М; М (z ₄) = -8кН × м.

По найденным значениям строим эпюры Q и M (рис. 5, в).

123,68

85,96

102,84

Эпюра М, кН × м

Рис. 5в

1,79 м

31,32

23,28

34,28

Эпюра Q, кН

 

 

Подбор сечения. Для балки постоянного сечения опасным является сечение, в котором действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент. В нашем случае это место находится на расстоянии4,79 м от левой опоры и М _max= 123,68 кН × м.

Из условия прочности определяем требуемый момент сопротивления и подбираем номер двутавра:

 

 

W_x=M _max / R = 123,68 × 1000: 160 = 773 см³.

 

 

В соответствии с ГОСТ 8239–89, принимаем двутавр № 36, W_x = 743см³. Перегрузка составляет 4 %, что меньше 5 %.

Задача 6