Пример 4. Для поперечного сечения (рис. 4, а) требуется: определить положение центра тяжести;найти осевые и центробежный моменты инерции относительно случайных центральных осей; определить направления главных центральных осей; найти главные центральные моменты инерции; вычертить сечение в масштабе 1:1 с указанием осей и размеров.
Дано: уголок № 90´90´9 (рис. 4, б);швеллер № 16 (рис. 4, в).
Уголок № 90´90´9
ГОСТ 8509-93;
; 
;
; 
;
.
Все размеры на рис.4, б указаны в сантиметрах.
Швеллер № 16ГОСТ 8240-93;
;
;
;
.
Все размеры на рис.4, в указаны в сантиметрах.
Р е ш е н и е.
1. Найдём центр тяжести заданного сечения в координатах 
, 
(рис. 4, г):
Через точку С (
5,84; 
2,93) проводим взаимно перпендикулярные координатные оси 
. Относительно осей находим координаты точек 
, 
. Получаем: (–5,84; –2,93); (5,04; 2,52).
Проверяем положение центра тяжести:
; 
= 0,2 %;
; 
= 0,13 %.
Статические моменты относительно осей 
получились близкими к нулю, следовательно, точка пересечения осей 
является центром тяжести, а сами оси – центральными осями заданного сечения.
2. Вычисляем моменты инерции относительно осей :
;
;
.
3. Поскольку 
, найдём положение главных центральных осей:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Поворачивая оси против часовой стрелки на угол 
, получаем главные центральные оси 
.
4. Найдём главные центральные моменты инерции:
; 
;
; 
.
Проверка:
; 
; 
; 
;
;
.
Задача 5
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Задание. Для двух балок (рис. 5) требуется написать выражениядля поперечных сил Q и изгибающих моментов M на каждом участке в общем виде, построить эпюры Q и M, найти 
и подобрать: для схемы "а" деревянную балку с круглым поперечным сечением при R = 10 МПа; для схемы "б" – стальные балки с круглым, квадратным и двутавровым поперечными сечениями при R = 210 МПа; для схемы "б" сравнить площади полученных сечений. Данные взять из табл. 5.
Таблица 5
| № строки
| № схемы
| a, м
| b, м
| c, м
| M, кН × м
| q, кН/м
| P, кН
|
|
|
| 1,1
| 1,1
| 1,1
| 1,1
| 1,1
| 1,1
|
|
|
| 1,2
| 1,2
| 1,2
| 1,2
| 1,2
| 1,2
|
|
|
| 1,3
| 1,3
| 1,3
| 1,3
| 1,3
| 1,3
|
|
|
| 1,4
| 1,4
| 1,4
| 1,4
| 1,4
| 1,4
|
|
|
| 1,5
| 1,5
| 1,5
| 1,5
| 1,5
| 1,5
|
|
|
| 1,6
| 1,6
| 1,6
| 1,6
| 1,6
| 1,6
|
|
|
| 1,7
| 1,7
| 1,7
| 1,7
| 1,7
| 1,7
|
|
|
| 1,8
| 1,8
| 1,8
| 1,8
| 1,8
| 1,8
|
|
|
| 1,9
| 1,9
| 1,9
| 1,9
| 1,9
| 1,9
|
|
|
| 2,0
| 2,0
| 2,0
| 2,0
| 2,0
| 2,0
|
|
| е
| а
| б
| в
| г
| д
| е
|
Пример 5.Для балки (рис. 5, а) требуется написать выражения для Q и M на каждом участке в общем виде, построить эпюры Q и M, найти M макс и подобрать номер двутавра.
Дано: а = 3 м; b = 4,2 м; c = 2,3 м; 
= 12,5 м; M = 8 кН × м; P = 11 кН; q = 13 кН/м; R = 160 МПа.
Решение. Покажем и вычислим реакции опор (рис. 5, б):
RD (а + b + d)- Pа - qb (а + b /2)- M = 0;
RD (3+4,2+3)-11 × 3-13×4,2×5,1-8 = 0; RD = 31,32 кH.
RA (а + b + d)- P (b + d)- qb (d + b / 2)+ M = 0;
RA (3+4,2+3)-11×(4,2+3)-13×4,2×5,1+8 = 0; RA = 34,28 кH.
Проверка реакций опор: 
RA - P - qb + RD = 0;34,28-11-13×4,2+31,32=65,6-65,6 = 0.
Реакции опор найдены верно.
Вычисляем значения Q и M на участках.
●Участок AB: z 1Î[0;3]; Q (z 1) = RA; Q (z 1) = 34,28 кН;
М (z 1) = RAz 1; М (z 1) = 34,28 z 1; М (0) = 0; М (3) = 102,84кН × м.
Проверка: 
; 
.
●Участок BС: z 2Î[0;4,2]; Q (z 2) = RA - P - qz 2; Q (z 2) = 34,28- 11-13 z 2; Q (0) = 23,28 кН;
Q (4,2) =-31,32 кН; Q (z 2) = 0при z 2= (34,28-11)/13 = 1,79 м;
М (z 2) = RA (а + z 2)- Pz 2 - qz 2 z 2/2; М (z 2) = 34,28(3+ z 2)- 11 z 2-13 z 2 z 2/2;
М (0) = 102,84кН × м; М (1,79) = 123,68кН × м; М (4,2) = 85,96кН × м.
Проверка: 
; 
.
●Участок СD: z 3Î[0;3]; Q (z 3) = - RD; Q (z 3) = -31,32 кН;
М (z 3) = RDz 3- М; М (z 3) = 31,32 z 3-8; М (3) = 85,96кН×м; М (0) = -8кН×м.
Проверка: 
; 
.
●Участок DE: z 4Î[0; 2,3]; Q (z 4) = 0; М (z 4) = - М; М (z 4) = -8кН × м.
По найденным значениям строим эпюры Q и M (рис. 5, в).
Подбор сечения. Для балки постоянного сечения опасным является сечение, в котором действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент. В нашем случае это место находится на расстоянии4,79 м от левой опоры и М max= 123,68 кН × м.
Из условия прочности определяем требуемый момент сопротивления и подбираем номер двутавра:
Wx=M max / R = 123,68 × 1000: 160 = 773 см3.
В соответствии с ГОСТ 8239–89, принимаем двутавр № 36, Wx = 743см3. Перегрузка составляет 4 %, что меньше 5 %.
Задача 6
