Теорема об эквивалентном генераторе

 

Формулировка теоремы: по отношению к выводам выделенной ветви или отдельного элемента остальную часть сложной схемы можно заменить а)эквивалентным генератором напряжения с ЭДС Е _э , равной напряжению хо­лостого хода на выводах выделенной ветви или элемента Е _э= U _xx и с внутренним сопротивлением R ₀, равным входному сопротивлению схемы со стороны выде­ленной ветви или элемента (R ₀= R _ВХ); б)эквивалентным генератором тока с J _Э, равным току короткого замыкания на выводах выделенной ветви или элемента, и с внутренней проводимостью G ₀, равной входной проводимости схемы со стороны выделенной ветви или элемента (G ₀= G _вх).

Для доказательства п. а) теоремы удалим из схемы рис. 26а выделенную ветвь и между точками ее подключения измерим (рассчитаем) напряжение хо­лостого хода U _{xx ab} = j_a-j_b (рис. 26б).

 

 

Включим последовательно c выделенной ветвью два направленные встречно источника ЭДС, равные напряжению холостого хода () (рис. 26в). Такое включение дополнительных источников ЭДС не изменит ре­жим сложной схемы, так как их действие взаимно компенсируется.

Определим ток в выделенной ветви по принципу наложения, как алгеб­раическую сумму из двух частичных токов: а)тока , возникающего от незави­симого действия ЭДС (рис. 26г); б) тока , возникающего от совместного действия ЭДС и всех источников сложной схемы (рис. 26д).

Частичный ток в схеме рис. 26г по закону Ома равен:

,

где R _вх– входное сопротивление схемы со стороны выделенной ветви.

 

Частичный ток в схеме рис. 26д равен нулю I ¢¢0, так как E ¢¢= U _xx обес­печивает условия режима холостого хода ветви.

Результирующий ток в выделенной ветви равен:

.

Полученному уравнению соответствует эквивалентная схемы замещения рис. 27а, где остальная часть схемы заменена эквивалентным генератором на­пряжения с параметрами E_э=U _{xx ав} , , что и требовалось доказать.

 

Генератор напряжения (E _Э, R ₀) может быть заменен эквивалентным гене­ратором тока (J _Э, G ₀) (рис. 27б) исходя из условия эквивалентно­сти: .

Параметры эквивалентного генератора тока могут быть определены (рассчитаны или измерены) независимым путем, как J _э= I _{кз ав} , G ₀= G _{вх ав} , где I _{кз ав} - ток короткого замыкания в выделенной ветви.

Метод расчета тока в выделенной ветви сложной схемы, основанный на применении теоремы об эквивалентном генераторе, получил название метода эквивалентного генератора напряжения (тока) или метода холостого хода и ко­роткого замыкания (х.х. и к.з.). Последовательность (алгоритм) расчета выгля­дит так.

1) Удаляют из сложной схемы выделенную ветвь, выполняют расчет ос­тавшейся части сложной схемы любым методом и определяют напряжение хо­лостого хода между точками подключения выделенной ветви.

2)Удаляют из сложной схемы выделенную ветвь, закорачивают в схеме точки подключения выделенной ветви, выполняют расчет оставшейся части сложной схемы любым методом и определяют ток короткого замыкания I _{кз аb} в закороченном участке между точками подключения выделенной ветви.

3)Удаляют из схемы выделенную ветвь, в оставшейся части схемы уда­ляют все источники (источники ЭДС E закорачивают, а ветви с источниками тока J удаляют из схемы), методом преобразования выполняют свертку пассив­ной схемы относительно точек подключения выделенной ветви и таким обра­зом определяют R _{вх аb} .

4) Составляют одну из эквивалентных схем замещения с генератором напряжения (рис. 27а) или с генератором тока (рис. 27б).

5) Выполняют расчет эквивалентной схемы (рис. 27а или рис. 27б) и на­ходят искомый ток, например:

- по закону Ома для схемы рис. 27а;

- по методу двух узлов для схемы рис. 27б.

Так как между тремя параметрами эквивалентного генератора справед­ливо соотношение , то для их определения достаточно рассчитать любые два из трех параметров согласно п.п. 1), 2), 3), а третий параметр опре­делить из приведенного соотношения.

Пример. В схеме рис. 28 с заданными параметрами элементов (E ₁=100 В; E ₂=20 В; E ₃=30 В, E ₄=10 В; R ₁= R ₂=40 Ом; R ₃= R ₄=20 Ом; R ₅= R ₆=10 Ом) оп­ределить ток в выделенной ветви I ₆ методом эквивалентного генератора.

 

 

Решение задачи выполняется поэтапно.

1) Определение U _xx= E _э в схеме рис. 29.

 

A; A;

Þ

B

 

 

2) Определение R _вх =R ₀ в схеме рис. 30.

 

Ом

 

 

3) Расчет эквивалентной схемы рис. 31 и определение искомого тока I ₆.

 

 

 

A