Принцип наложения. Метод наложения

Принцип (теорема) наложения гласит, что ток в любой ветви (напряжение на любом элементе) сложной схемы, содержащей несколько источников, равен алгебраической сумме частичных токов (напряжений), возникающих в этой ветви (на этом элементе) от независи­мого действия каждого источника в от­дельности.

Для упрощения доказательства теоремы выберем одну из наружных вет­вей сложной схемы за номером 1, в которой действительный ток равен контур­ному: I ₁ = I_{k 1}. Составим для сложной схемы систему контурных уравнений и решим ее относительно тока I ₁ = I_{k 1} методом определителей (Крамера):

Здесь G ₁₁ –входная проводимость ветви 1, G ₁₂, G ₁₃, …, G _1n– взаимные проводимости между 1-й и остальными ветвями, I ₁₁ = E ₁ G ₁₁ – частичный ток в ветви 1 от источника ЭДС E ₁, I ₁₂ = E ₂ G _{12, …,} I _1n = E _n G _1n – частичные токи в ветви 1 от источников ЭДС E ₂,…, E_n.

Принцип наложения выполняется только для тех физических величин, которые опи­сываются линейными алгебраическими уравнениями, например, для токов и напряжений в линейных цепях. Принцип наложения не выполня­ется для мощности, которая с током связана нелинейным уравнением P=I ² ×R.

Принцип наложения лежит в основе метода расчета сложных цепей, по­лучившего на­звание метода наложения. Сущность этого метода состоит в том, что в сложной схеме с не­сколькими источниками последовательно рассчиты­ваются частичные токи от каждого источ­ника в отдельности. Расчет частичных токов выполняют, как правило, методом преобразова­ния схемы. Действитель­ные токи определяются путем алгебраического сложения частичных токов с учетом их направлений.

E 1 E 2

Пример. Задана схема цепи (рис. 21) и параметры ее элементов: E ₁ =12 B; E ₂ =9 B; R ₁= R ₂ = R ₃ = 2 Ом. Требуется определить токи в ветвях схемы методом наложения.

 

 

 

 

На рис. 22а представлена схема цепи для определения частичных токов от источника ЭДС Е ₁, а на рис. 22б - от источника ЭДС Е ₂.

 

Частичные токи в схеме рис. 22а от E₁:

Ом; I ₁₁ = E ₁ /R ₁₁ = 12/3 = 4A; I ₂₁ = I ₃₁ = 2А.

Частичные токи в схеме рис. 22б от E₂:

Ом; I ₂₂ = E ₂ /R ₂₂ = 9/3 = 3A; I ₁₂ = I ₃₂ = 1,5А.

Действительные токи как алгебраические суммы частичных токов:

I ₁ = I ₁₁ - I ₁₂ = 4 – 1,5 = 2,5 A

I ₂ = - I ₂₁ + I ₂₂ = -2 + 3 =1 A

I ₃ = I ₃₁+ I₃₂ = 2 + 1,5 =3,5 A

Теорема о взаимности

 

Выделим из сложной схемы две произвольные ветви “ m ” и “ n ”, в одной из которых включен источник ЭДС E (в ветви m). Теорема о взаимности гласит, что если источник ЭДС E, включенный в ветви “ m ”, вызывает в ветви “ n ” час­тичный ток I, то такой же источник ЭДС E, включенный в ветвь “ n ”, вызовет в ветви “ m ” такой же частичный ток I (рис.23).

 

 

Доказательство теоремы о взаимности вытекает из принципа наложения. Частичные токи равны:

— для схемы рис. 23а, — для схемы рис. 23б.

Так как взаимные проводимости в линейной цепи равны (G_mn=G_nm), то соответственно равны токи в обеих схемах.

 

Теорема о компенсации

Формулировка теоремы: любой пассивный элемент электрической схемы можно заменить а) идеальным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению на этом элементе (E = U) и направленной навстречу току, б) иде­альным источником тока J, равным току в этом элементе (J = I) и направленным согласно току I.

 

 

Выделим пассивный элемент R_k с током I_k и напряжением U_k из схемы цепи (рис. 24а). Для доказательства п. а) теоремы включим последовательно с элементом R_k навстречу друг другу два идеальных источника ЭДС (рис. 24б). Такое включение источников ЭДС не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действие взаимно компенсируется. Cоставим потен­циальное уравнение между точками “a” и “d”:

, откуда следует , или .

Точки “ a ” и “ d ”, как точки равного потенциала, можно закоротить и за­короченный участок “ a-d ” из схемы удалить без нарушения ее режима. В ре­зультате удаления закороченного участка схема получает вид рис. 24в, в кото­рой пассивный элемент R_k заменен идеальным источником ЭДС .

 

 

Для доказательства п. б) теоремы включим параллельно с элементом R_k два идеальных источника тока , направленные навстречу друг другу (рис. 25б).

Такое включение источников тока не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действия взаимно компенсируются. С другой сто­роны ток в ветви “ a-c ” равен нулю (, и эту ветвь можно отклю­чить без нарушения режима остальной части схемы. В результате отключения схема получает вид рис. 25в, в которой пассивный элемент R_k заменен идеаль­ным источником тока J_k=I_k.