Из курса математики известно, что любую синусоидальную функцию времени, например i (t) =Im sin(wt+a), можно изобразить вращающимся вектором при соблюдении следующих условий:
а) длина вектора в масштабе равна амплитуде функции Im ;
б) начальное положение вектора при t = 0 определяется начальной фазой a;
в) вектор равномерно вращается с угловой скоростью w, равной угловой частоте функции.
 |
При соблюдении названных условий проекция вращающегося вектора на вертикальную ось y в системе координат х-у в любой момент времени t ¢равна мгновенному значению функции i (t ¢), следовательно i = Im sin(wt+a)
Рассмотрим процессы в схеме электрической цепи рис. 36. Изобразим синусоидальные функции токов и напряжений вращающимися векторами для произвольного момента времени, например t = 0 (рис. 37а). При рассмотрении установившегося режима в схеме мгновенные значения функций не представляют интереса, поэтому момент времени, для которого строится векторная диаграмма, может быть выбран произвольно. Целесообразно один из векторов принять начальным или исходным и совместить его на диаграмме с одной из осей координат (вектор Е на рис. 37б совмещен с осью y), при этом остальные векторы располагают по отношению к исходному вектору под углами, равными их сдвигам фаз.
Так как на практике интерес представляют действующие значения токов и напряжений, то на векторных диаграммах длины векторов принимают равными в выбранных масштабах их действующим значениям (рис. 37б).
 |
Совокупность векторов, характеризующих процессы в цепи переменного тока, построенных в выбранных масштабах и с соблюдением правильной их ориентации друг относительно друга, называется векторной диаграммой.
Теоретические основы комплексного метода расчета цепей
Переменного тока
Из курса математики известно, что комплексное число Z может быть представлено в следующих трех формах: показательной, тригонометрической и алгебраической:
|
В основе перехода от одной формы комплексного числа к другой лежит известная из математики формула Эйлера:
Здесь обозначены:
j = 
– мнимое единичное число,
Z – модуль комплексного числа,
a - аргумент комплексного числа,
а – вещественная часть комплексного числа,
jb – мнимая часть комплексного числа.
Соотношения между коэффициентами различных форм комплексного числа вытекают из формулы Эйлера:
a = Z cosa; b = Z sina; Z = 
; a = arctg 
.
Приведем наиболее часто встречающиеся численные соотношения:
ej0 = 1; e± j180° = -1; e j90° = +j; e-j90° = -j;
1/j = -j; j2 = -1; j3 = -j; и т.д.
Комплексное число Z = Z eja = a + jb может быть изображено вектором на комплексной плоскости (рис. 38), при этом алгебраической форме числа 
соответствует декартовая система координат (a ® x; b ® y), а показательной форме числа Z = 
- полярная система координат (Z ® r; a ® q).
Можно утверждать, что каждой точке (вектору) на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, и наоборот, каждому комплексному числу соответствует определенная точка (вектор) на комплексной плоскости.
Известно, что синусоидальную функцию можно изобразить вектором, а вектор в свою очередь можно представить комплексным числом. Таким образом, синусоидальные токи и напряжения, характеризующие установившийся режим цепи переменного тока, могут быть представлены комплексными числами:
Û 
- комплексная амплитуда,
Û 
- комплексное действующее значение. Здесь Û -знак соответствия.
При расчете цепей переменного тока возникает необходимость выполнения различного рода математических операций с синусоидальными функциями. При замене синусоидальных функций (оригиналов) комплексными числами (изображениями) соответствующие математические операции выполняются с комплексными числами.
Сложение (вычитание) комплексных чисел производится в алгебраической форме
Умножение комплексных чисел может выполняться, как в алгебраической, так и в показательной формах:
Деление комплексных чисел может выполняться как в алгебраической, так и в показательной формах:
Возведение в степень (извлечение корня) комплексного числа выполняется только в показательной форме:
Установим порядок дифференцирования и интегрирования синусоидальных функций в комплексной форме. Пусть задана некоторая функция тока и ее комплексное изображение:
Производная и интеграл от этой функции их комплексные изображения будут равны:
;
.
Таким образом, дифференцированию синусоидальной функции времени соответствует в комплексной форме умножение ее комплексного изображения на множитель jw, а интегрированию – соответственно деление на тот же коэффициент:
Замена математических операций 2-го рода (дифференцирование, интегрирование) операциями 1-го рода (умножение, деление) существенно упрощает расчет цепей переменного тока в комплексной форме.
Современные инженерные калькуляторы в режиме «compl» позволяют выполнять все действия с комплексными числами непосредственно так же, как с обычными числами. При этом следует принять во внимание, что калькулятор выполняет действия над комплексными числами только в алгебраической форме 
и результаты расчета выдает также в алгебраической форме. Если исходные комплексные числа заданы в показательной форме 
, то после их ввода необходимо выполнить операцию преобразования их в алгебраическую форму.
Комплексный метод расчета цепей переменного тока был разработан в 1910-1912гг. американским инженером Штейнметцом и сыграл большую роль в развитии теории электрических цепей переменного тока.
Мощность переменного тока
В сложной электрической цепи, состоящей из разнородных элементов R, L, C, одновременно происходят следующие физические процессы:
а) необратимый процесс преобразования электрической энергии в другие виды (тепловую, механическую и др.), который называется активным;
б) обратимый процесс колебания энергии между переменным электрическим полем конденсаторов 
, магнитным полем катушек 
и источником энергии, который называется реактивным.
Процесс преобразования и процесс колебания энергии взаимно накладываются друг на друга, создавая в цепи единый сложный энергетический процесс.
Пусть электрическая цепь носит активно-индуктивный характер и может быть представлена простой схемой, состоящей из источника ЭДС е и пассивных элементов R и L, включенных последовательно (рис. 39):
 |
Напряжение и ток на входе схемы как функции времени и их комплексные изображения будут равны:
;
.
Мгновенная мощность, как функция времени, состоит из двух слагаемых:
Первое слагаемое 
характеризует процесс преобразования электрической энергии в другие виды (активный процесс). Второе слагаемое 
изменяются по периодическому закону с частотой 2 w и характеризует процесс обмена энергией между магнитным полем приемника и источником энергии (реактивный процесс).
Количество энергии, которое преобразуется в приемнике в другие виды в единицу времени, называется активной мощностью P. Математически активная мощность может быть получена как среднее значение мгновенной мощности за период:
Реактивная мощность Q характеризует интенсивность обмена энергией между магнитным полем приемника и источником и определяется по формуле:
Реактивная мощность индуктивного характера 
положительна, а емкостного характера 
отрицательна. Противоположность знаков указывает на тот факт, что колебания энергии в разнородных элементах совершаются в противофазе.
В технике используется понятие полной мощности S, которая не имеет физического смысла и определяется по формуле:
.
Мощности S, P, Q образуют прямоугольный треугольник, который называется треугольником мощностей (рис. 40).
 |
Хотя физическая размерность мощностей S, P, Q одинакова, а именно 
, для каждой из них на практике применяется своя единица измерения: для активной мощности P - ватт 
, для реактивной мощности Q - вольтампер реактивный 
, для полной мощности S - вольтампер 
.
В соответствии с законом сохранения энергии в цепи переменного тока должны балансироваться независимо друг от друга активные и реактивные мощности приемников и источников энергии: 
и 
. Баланс для полных мощностей не соблюдается.
При расчете цепей переменного тока комплексным методом мощности S, P, Q представляют в комплексной форме:
где 
- сопряженный комплекс тока 
.
Таким образом
- модуль комплексной мощности;
- вещественная часть;
- мнимая часть.
