Метод преобразования (свертки) схемы

 

Если схема электрической цепи содержит только один источник энергии (E или J), то пассивная часть схемы может быть преобразована (свернута) к одному эквивалентному эле­менту R _Э(рис. 7).

 

 

 

Свертка схемы начинается с самых удаленных от источника ветвей, про­водится в не­сколько этапов до достижения полной свертки. После полной свертки схемы по закону Ома определяется ток источника: . Токи в ос­тальных элементах исходной схемы находятся в процессе об­ратной развертки схемы. Такой метод расчета токов получил название метода последова­тельного преобразования (свертки) схемы.

При применении данного метода возможны следующие виды преобразо­ваний.

1) Последовательное преобразование заключается в замене нескольких элементов, включенных последовательно, одним эквивалентным (рис. 8).

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

 

2) Параллельное преобразование состоит в замене нескольких элемен­тов, вклю­чен­ных параллельно, одним эквивалентным (рис. 9).

 

 

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

Для двух элементов: и

3) Взаимное преобразование схем звезда-треугольник (рис. 4) возни­кает при свертке сложных схем.

Условием эквивалентности двух схем являются равенства для них токов (I ₁, I ₂, I ₃), на­пряжений (U ₁₂, U ₂₃, U ₃₁) и входных сопротивлений (R ₁₂, R ₂₃, R ₃₁) и соответственно входных проводимостей (G ₁₂, G ₂₃, G ₃₁).

Приравняем входные сопротивления для обеих схем со стороны двух произвольных ветвей при отключенной третей (рис. 10):

 

(1)

(2)

(3)

 

 

Сложим почленно уравнения (1) и (3) и вычтем из суммы уравнение (2), получим:

, по аналогии: , .

Приравняем входные проводимости для обеих схем со стороны произ­вольной вер­шины и двух других вершин, замкнутых накоротко (рис. 11):

(4)

(5)

(6)

 

Сложим почленно уравнения (4) и (5) и вычтем уравнение (6), получим:

, по аналогии: , .

В последних уравнениях заменим проводимости на соответствующие им сопротивле­ния , получим:

; ; .

При наличии полной симметрии соотношение между параметрами экви­валентных схем составляет: .

4) Замена параллельных ветвей эквивалентной ветвью (рис. 12) осу­ществляется со­гласно теореме об эквивалентном генераторе.

 

 

Напряжение холостого хода U _{xx aв} =E _Э определяется по методу двух уз­лов:

.

Эквивалентное входное сопротивление находится методом свертки схемы:

.

 

5) Перенос источника ЭДС через узел схемы: источник ЭДС Е можно перенести че­рез узел во все ветви, отходящие от узла (рис. 13а, б.).

 

 

6) Привязка источника тока к произвольному узлу согласно схеме(рис. 14а, б):

 

 

 

7) Взаимное преобразование схем с источником напряжения и систоч­ником тока согласно схеме(рис. 15а, б):

 

 

 

Схемы эквивалентны при равенстве для обеих напряжений U и токов I на на­грузке:

.

Сравнивая левые и правые части равенства, получим соотношения между парамет­рами эквивалентных схем:

.

 

Метод законов Кирхгофа

 

Теоретическая база метода: 1-й и 2-й законы Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей в узле схемы равна нулю ().

2-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в произ­вольном кон­туре схемы равна алгебраической сумме ЭДС ().

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме (рис. 16) и оп­ределить токи в ветвях, напряжения на отдельных элементах, мощности источников и при­емников энергии. Задана схема цепи и параметры ее отдельных элементов (E ₁, E ₂, J ₁, J ₁, J ₂, R ₁, R ₂, R ₃, R ₄, R ₅).

 

 

 

Анализируем структуру схемы: схема содержит n =3 (0, 1, 2) узлов и m =5 ветвей с не­определенными токами. В ветвях с источниками тока J токи оп­ре­делены источниками. Об­щее число уравнений должно быть равно числу опре­деляемых токов “ m ”.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями токов в вет­вях схемы (I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅).

2) Составляется (n -1) уравнений для узлов по первому закону Кирхгофа. Уравнение для последнего n -го узла является зависимым (оно может быть по­лучено путем сложения первых (n -1) уравнений).

3) Не­достающие m -(n -1) уравнений составляются по 2-му закону Кирх­гофа. Пра­вило выбора контуров для составления уравнений: каждый после­дующий контур должен включать в себя хотя бы одну новую ветвь, не охвачен­ную предыдущими уравнениями. Число неза­висимых контуров для схемы лю­бой сложности не может быть больше числа m -(n -1).

Ниже приведена система уравнений Кирхгофа для схемы рис. 16, состоя­щая из m =5 уравнений, из которых n -1=2 составлены для узлов 1 и 2 по 1-му закону Кирхгофа и m -(n -1)=3 составлены для контуров К₁, К₂, К₃ по 2-му за­кону Кирхгофа:

- узел 1,

- узел 2,

- контур К₁,

- контур К₂,

- контур К₃.

 

4) Система уравнений приводится к матричной форме, составляются мат­рицы ко­эф­фициентов:

;

5) Система уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения ли­нейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициен­тами (SU1), в резуль­тате чего определяются неизвестные токи I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅. От­рицательные результаты, по­лучаемые для некоторых токов, означают, что их действительные (физические) направ­ления не соот­ветствуют направлениям, принятым в начале расчета.

6) Определяются напряжения на отдельных элементах схемы (), мощно­сти источников ЭДС (),источников тока () и прием­ников (). При этом мощности приемников энергии всегда положи­тельны, а мощности источников энергии могут быть отрицательными, если со­множители в произведениях и не совпадают по направлению.

4. Метод контурных токов

 

Теоретическая база метода контурных токов – 2-ой закон Кирхгофа в со­четании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток I_k, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их ал­гебраические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определе­нию, в данном методе выступают контурные токи. Общее число неиз­вестных составляет m -(n -1).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 11. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями контурных токов в кон­турах-ячейках схемы(I_{к 1}, I_{к 2}, I_{к 3} ). Контуры-ячейки следует выби­рать так, чтобы они не включали в себя ветви с источниками тока. Ветви с ис­точниками тока J образуют свои кон­туры с заданными токами (J ₁, J ₂).

2) Составляются m -(n -1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа для вы­бранных конту­ров-ячеек с контурными токами I_{к 1}, I_{к 2}, I_{к 3}. В уравнениях учиты­ваются падения напряжений как от собственного контурного тока, так и от смежных контурных токов.

 

Ниже приведена система контурных уравнений для схемы рис. 17:

В обобщенной форме система контурных уравнений имеет вид:

 

Здесь введены следующие обозначения:

R ₁₁= R ₁ + R ₄; R ₂₂ = R ₂ + R ₅ и т. д. – собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений всех элементов контура;

R ₁₂ = R ₂₁ = 0; R ₂₃ = R ₃₂ = - R ₅ и т. д. – взаимные сопротивления между двумя смежными контурами, они положительны – если контурные токи в ветви совпадают, и отрицательны – если контурные токи в ветви направлены встречно, всегда отрицательны – если все контур­ные токи ориентированы оди­наково (например, по часовой стрелке), равны нулю – если кон­туры не имеют общей ветви;

E ₁₁ = E ₁ + J ₁ R ₄, E ₂₂ = - E ₂, E ₃₃ = - E ₃ + J ₂ R ₃ и т. д. – контурные ЭДС, равные алгебраиче­ской сумме слагаемых E _nn = S E + S JR от всех источников контура.

Система контурных уравнений в матричной форме:

или в сокращенно ,

где - матрица контурных сопротивлений, - матрица контурных токов, - мат­рица контурных ЭДС.

3) Система контурных уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для решения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные контурные токи I_{к 1}, I_{к 2}, I_{к 3}.

4) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы (рис. 1) (I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅). Токи ветвей определяются по принципу наложе­ния как алгебраические суммы контурных токов, протекающих в данной ветви.

I ₁ = I_{к 1} - J ₁; I ₂ = - I_{к 2}; I ₃ = - I_{к 3} – J ₂; I ₄ = I_{к 1} – I_{k 3}; I ₅ = - I_{к 2} + I_{k 3} .

5) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и приемни­ков энергии (P_k = I_k ² × R_k).

 

Метод узловых потенциалов

 

Теоретическая база метода узловых потенциалов – 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы при­нимают равным нулю, а потенциалы остальных (n -1) узлов считают неизвестными, подле­жащими определению. Общее число неиз­вестных составляет (n -1).

Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).

 

Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения напряжений на отдельных участках:

или

Уравнение, связывающее потенциалы конечных точек ветви через паде­ния напряже­ний на ее отдельных участках, называется потенциальным уравне­нием ветви.

Из потенциального уравнения ветви могут быть определены ток ветви и напряжение на резисторе:

, .

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 19. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Принимаем потенциал узла 0 равным нулю (j ₀ = 0), а потенциалы узлов 1 и 2 (j ₁ и j ₂) будем считать неизвестными, подлежащими определению.

Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅. Со­ставим потенциальные уравнения ветвей и выразим из них токи ветвей:

I ₁ = (j ₁ – j ₀ + E ₁ )/ R ₁

I ₂ = (j ₂ – j ₀ + E ₂ )/ R ₂

I ₃ = (j ₁ – j ₀ + E ₃ )/ R ₃

I ₄ = (j ₀ – j ₁ )/ R ₄

I ₅ = (j ₀ - j ₂ )/ R ₅

 

 

Составим (n -1) уравнение по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:

- I ₁ – I ₃ + I ₄ – J ₁ – J ₂ = 0

- I ₂ + I ₃ + I ₅ + J ₂ =0

Подставим значения токов из потенциальных уравнений в уравнения 1-го закона Кирхгофа. После приведения коэффициентов получим систему узловых уравнений:

В обобщенной форме система узловых уравнений имеет вид:

 

Здесь введены следующие обозначения:

G ₁₁ =1/ R ₁ +1/ R ₃ +1/R₄; G ₂₂ =1/ R ₂ +1/ R ₃ +1/ R ₅ и т.д. – собственные прово­димости узлов, равные суммам проводимостей всех ветвей, сходящихся в дан­ном узле, всегда положи­тельны;

G ₁₂ = G ₂₁ = 1/ R ₃; G_nm = G_{m n}– взаимные проводимости между смежными узлами (1 и 2, m и n), равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, всегда отрицательны;

J ₁₁ = - E ₁ / R ₃ – E ₃ / R ₃ – J ₁; J ₁₁ =- E ₂ / R ₂ – E ₃ / R ₃ + J ₁ и т.д. – узловые токи уз­лов, равные алгебраической сумме слагаемых E/R и J от всех ветвей, сходя­щихся в узле (знак ”+”, если источник действует к узлу, и знак “-”, если источ­ник действует от узла).

Система узловых уравнений в матричной форме:

или сокращенно ,

где - матрица узловых проводимостей, - матрица узловых по­тенциа­лов, - матрица узловых токов.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю, а потен­циалы осталь­ных (n -1) узла считают неизвестными, подлежащими определе­нию.

2) Руководствуясь обобщенной формой, составляют (n -1) уравнение для узлов с неиз­вестными потенциалами.

3) Определяются коэффициенты узловых уравнений и составляются их матрицы.

4) Система узловых уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для ре­шения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные по­тенциалы узлов j ₁, j ₂, …

5) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅. Токи ветвей определяются из потенциальных уравнений ветвей через потенциалы узлов j ₁, j ₂, ….

6) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и приемни­ков энергии (P_k = I_k ² × R_k).

 

 

Метод двух узлов

 

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов при числе узлов в схеме n = 2 (рис. 20).

 

 

Принимаем j ₀ = 0, тогда уравнение для узла 1 по методу узловых потен­циалов будет иметь вид: j ₁ G ₁₁ = J ₁₁, откуда следует непосредственное опреде­ление напряжения между уз­лами схемы:

- уравнение метода двух узлов.

Применительно к схеме рис. 20 данное уравнение примет конкретную форму: