Из определения вероятности (см §2) ясно видно, что вероятность описывает некоторую реальную закономерность, проявляющуюся при массовом повторении случайного испытания. Однако для построения математической теории важно не только установить естественно-научное значение основных понятий, но и формально перечислить их основные свойства. Так, в геометрии простейшие, лежащие в основе построения теории свойства точек и прямых, перечисляются в аксиомах, например: через две различные точки проходит одна и только одна прямая. Точно так же, логическое построение теории вероятностей основано на фиксации первичных, не подлежащих определению понятий данной теории. Их основные свойства формулируются в виде ряда аксиом. После этого все предложения теории (иначе говоря все теоремы) выводятся из аксиом строго логическим путем, без обращения к посторонним понятиям опыта, наглядности, устойчивости частот и т.д.
Современная аксиоматика теории вероятностей принадлежит советскому математику А.Н. Колмогорову.
Приведём сначала некоторые предварительные соображения.
Заметим, что среди событий по отношению к данному опыту можно выделить такие, которые являются простейшими, элементарными.
Элементарные события характеризуются тем, что при каждом осуществлении опыта наступает одно и только одно из них и, что любое событие А, связанное с данным опытом, должно распадаться на элементарные, т.е. представляться в виде суммы некоторого множества элементарных событий.
Пример1. В опыте с бросанием игральной кости события 
, где 
означает выпадение i очков, являются элементарными. Действительно, любое событие, представляющее интерес в связи с бросанием игральной кости, формулируется как некоторое условие на число очков (например: число очков чётное, число очков превосходит 3 и т.д.). Отсюда ясно, что каждое событие, связанное с данным опытом, распадается на элементарные события 
.
Пример2. Пусть опыт заключается в «бросании» точки в области Ω на плоскости. Элементарное событие – это попадание точки в определенную точку области Ω. Ясно, что суммами таких событий исчерпываются все мыслимые исходы опыта. В данном примере, в отличие от предыдущего, множество элементарных событий бесконечно. Можно считать его совпадающим с множеством всех точек области Ω.
Возвращаясь к общей ситуации, обозначим через Ω множество всех элементарных событий для данного опыта. Каждому событию А, связанному с данным опытом, можно сопоставить подмножество множества Ω; это подмножество состоит из тех элементарных событий, на которые распадается А. В аксиоматике Колмогорова событие А отождествляется с соответствующим подмножеством в Ω. В такой интерпретации, например: событие «на игральной кости выпало нечётное число очков» есть подмножество 
в множестве 
, а событие «точка попала в подобласть Д области Ω на Рис.1.» есть подмножество множества Ω, состоящее из всех точек Д указанной подобласти.
Рис.1
Такой подход к понятию события удобен тем, что благодаря ему, понятия суммы cобытий, произведения cобытий и противоположного события приобретают естественно теоретико-множественный смысл, а именно: сумма событий А и В превращается в объединение соответствующих подмножеств, произведение событий А и В – в пересечение этих подмножеств, а противоположное событие 
- в дополнению к подмножеству А в Ω.
Таким образом, математическая формализация модели случайного опыта разбивается на две группы аксиом.
I. Аксиомы событий
1. Задаётся множество элементарных событий Ω, называемое пространством элементарных событий.
2. Рассматривается некоторая непустая совокупность S подмножеств множества Ω, называемых событиями (в общем случае бесконечного пространства Ω, мы рассматриваем не все подмножества Ω, а лишь некоторые классы этих подмножеств).
К совокупности S предъявим следующие требования
1. Если множества 
(в конечном или счётном числе) суть события, то их объединение тоже является событием.
2. Если множество А является событием, то его дополнение (до Ω) есть тоже событие.
Из аксиом 1,2 легко следует, что само Ω является (достоверным) событием и если есть события, то их пересечение (произведение) снова будет событием.
В этой терминологии два события А и В, не имеющие
(как подмножество) общих элементов, будут несовместными.
Событие, совпадающее с пустым множеством Ø, будет невозможным событием.
Таким образом, в нашей терминологии: результатом опыта является одно и только одно элементарное событие 
. Далее, событие А считается наступившим, если результатом опыта явилось элементарное событие ω, принадлежащее А.
II. Аксиомы вероятностей
Теперь мы сформулируем аксиомы, задающие само понятие вероятности.
1. Каждому событию 
поставлено в соответствии неотрицательное число Р (А), называемое вероятностью события А.
2. Если события попарно несовместны, то
.
Заметим, что при бесконечном числе событий в правой части написанного равенства стоит сумма ряда.
3. 
.
Аксиомы 1-3 составляют основу всей теории вероятностей. Все теоремы этой теории выводятся из них формально логическим путем.
Схема, включающая в себя три объекта 
:
1. Множество Ω (называемое пространством элементарных событий),
2. Систему S подмножеств Ω (называемых событиями), удовлетворяющих аксиомам 1,2 пункта I,
3. Функцию Р(А), определенную на S и удовлетворяющую аксиомам 1,2,3 пункта II,
называется вероятностной схемой данного опыта (или вероятностным пространством данного опыта).
Упоминание об опыте может быть опущено, поскольку понятие вероятностной схемы является чисто математическим понятием и не требует привязывания к какому либо конкретному опыту.
С введением вероятностной схемы мы можем определить предмет теории вероятностей в более точных терминах, а именно:
