Оглавление
Глава 1. Основные понятия и формулы теории вероятностей ………………………………………….. 5
§ 1. Предмет теории вероятностей. Случайные
события ………………………………………. 5
§ 2. Вероятность случайного события …………... 8
§ 3 Алгебра событий …………………………….. 12
§ 4 Формула сложения вероятностей …………… 17
§ 5 Аксиоматический подход к теории
вероятностей ………………………………… 19
§ 6 Классическая схема теории вероятностей …. 24
§ 7 Геометрические вероятности ……………….. 26
§ 8 Условная вероятность. Независимость
случайных событий …………………………. 29
§ 9 Формула полной вероятности. Формулы
Байеса ……………………………………….... 39
§ 10 Комбинаторика ………………………………. 42
§ 11 Схема Бернулли ……………………………..... 49
§ 12 Вероятности 
при больших значениях n.
Глава 2. Случайные величины и их характеристики 62
§ 1 Случайная величина и её функция
распределения.................................................. 62
§ 2 Дискретные случайные величины................. 67
§ 3 Непрерывные случайные величины.............. 70
§ 4 Функции от случайной величины.................. 78
§ 5 Системы случайных величин ………………. 81
§ 6 Независимые случайные величины ………... 89
§ 7 Математическое ожидание случайной
величины …………………………………….. 94
§ 8 Дисперсия случайной величины ………….... 109
§ 9. Корреляционный момент и корреляция
случайных величин ……………………………. 113
Глава 3. Закон больших чисел и центральная
предельная теорема ……………………… 119
§ 1 НеравенствоЧебышева ……………………... 119
§ 2 Закон больших чисел ………………………... 123
§ 3 Центральная предельная теорема Ляпунова и
её следствия …………………………………129
Задачи по теории вероятностей …………………… 138
Индивидуальные задания № 1 по теории
вероятностей …………………………………………… 153
Индивидуальные задания № 2 по теории
вероятностей …………………………………………... 166
Таблица значений функции 
…….. 183
Таблица значений для функции
................................................... 185
Степени числа e....................................................... 188
Таблица значений функции 
………………..... 189
Глава I. Основные понятия и формулы теории вероятностей.
Предмет теории вероятностей. Случайные события.
Предметом теории вероятностей являются модели опытов (экспериментов, наблюдений, испытаний), которые осуществляются, как только создаются определённые совокупности условий.
Примеры опытов:
1) бросание монеты 20 раз,
2) покупка лотерейного билета,
3) приход утром (между 8 и 9 часами) на станцию метро «Новогиреево»,
4) день 1 января,
5) день 1 января 2010 года.
На практике часто встречаются такие ситуации, когда исход проводимого нами опыта нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Например (смотри примеры опытов выше)
1) невозможно предсказать, что герб выпадет ровно 9 раз, или герб выпадет от 7 до 15 раз
2) выпадет ли выигрыш на лотерейный билет с таким-то номером
3) мы будем ждать электропоезд от 20 до 80 секунд
4) невозможно предсказать, что 1 января в Москве пойдёт снег.
Во всех подобных ситуациях мы вынуждены считать результат опыта зависящего от случая, рассматривать его как случайное событие.
Определение. Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить.
Примером случайного события может служить выпадение герба ровно 9 раз в опыте с бросанием монеты 20 раз, выигрыш проданному лотерейному билету, будем ждать поезд от 20 до 80 секунд, совпадение даты рождения (в опыте) у двух наугад выбранных студентов на лекции по теории вероятностей и в данной аудитории.
Случайные события обозначаются в дальнейшем А, В, С и т.д.
Замечание. Согласно данному выше определению, событие считают случайным, если его наступление в результате опыта представляет собой лишь одну из двух возможностей – оно либо наступит, либо не наступит.
События, которые в результате данного опыта всегда наступают, называется достоверными (обозначение I), которые никогда не наступают – невозможными событиями (обозначение Ø).
Теория вероятностей рассматривает модели таких опытов, которые могут быть повторены в одних и тех же условиях (достаточно) неограниченное число раз, т.е. мы будем предполагать, что в принципе возможно создать много раз одни и те же условия, осуществляющие данный опыт.
Случайные события, наступление которых возможно в такого рода опытах, называются массовыми случайными событиями.
Массовые случайные события следует отличать от единичных, обладающих той особенностью, что опыт, с которым связаны эти события, принципиально невоспроизводим. Например, событие «1 января 2010 г. в Москве шел снег» является в этом смысле единичным (исключительным), так как воспроизвести наступление указанного дня много раз невозможно. В то же время событие «1 января в Москве шёл снег» (без упоминания о годе) является несомненно, массовым: ведь наблюдать погоду в Москве 1 января можно много раз (в течение многих лет).
В самых общих словах предмет теории вероятностей может быть определён следующим образом:
Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям.
Оказывается, и случайные события подчиняются некоторым (вероятностным) закономерностям. Исход каждого опыта по отношению к данному событию является случайным, неопределённым. Однако средний результат большого числа опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.
Например, рассмотрим опыт с бросанием данной монеты. Предположим, что бросание производится много раз подряд. Оказывается «доля» (средний результат) тех бросаний, при которых выпадает герб (т.е. отношение числа таких бросаний к числу всех бросаний) с увеличением числа бросаний приближается к 
(или другому числу – это зависит от состояния монеты).
Приведём другой пример. В сосуде заключён газ. Находясь в беспрерывном движении, молекулы газа ударяются друг о друга и вследствие этого постоянно меняют величину и направление своей скорости. Казалось бы, отсюда следует, что давление газа на стенки сосуда, обусловленное ударами отдельных молекул о стенки, должно меняться случайным, неконтролируемым образом. Однако это не так: давление газа подчиняется строгой закономерности (закону Бойля-Мариотта). Причина этой закономерности кроется в том, что давление газа на стенки сосуда есть средний результат воздействия большого числа молекул. Случайные особенности, свойственные движению отдельных молекул, в массе (поскольку молекул много) взаимно погашаются, нивелируются и возникает некоторая средняя закономерность.
Именно эта устойчивость среднего результата, его независимость от колебаний отдельных слагаемых (отдельных исходов опыта) и обуславливает широту применения теории вероятностей. Физика, биология, медицина, лингвистика и т.д.- все эти области науки используют (одни в большей степени, другие в меньшей) понятия и выводы теории вероятностей и родственных ей дисциплин - математической статистики, теории информации и т.д.
Перейдём теперь к простейшей, самой главной закономерности в случайных событиях, в конечном счёте, составляющей основу всех приложений теории вероятностей к практике.
