Система линейных алгебраических уравнений (или линейная система) имеет вид:
(13.7)
где aij и bj – заданные числа.
Эту систему можно записать в матричной форме
(13.8)
где 
– матрица системы, состоящая из коэффициентов aij, 
B – матрица-столбец свободных элементов bj, 
X – матрица-столбец неизвестных, т. е. такая, которая обращает матричное уравнение (13.8) в равенство (является решением этого уравнения).
Решением системы (13.7) называется упорядоченная совокупность 
n чисел, которые после подстановки в уравнения системы вместо соответствующих переменных обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Система (13.7) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и неопределенной – если более одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.
Ответ на вопрос о совместности системы дает теорема Кронекера-Капелли: для того чтобы система (13.7) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
где 
– расширенная матрица системы (13.7), т. е. матрица А системы, к которой добавлен столбец B свободных членов.
Рассмотрим систему 
имеющую вид:
(13.9)
или в матричном виде
АХ = В,
где 
Определителем системы (13.9) называется определитель матрицы этой системы (т. е. состоящий из коэффициентов системы): 
Если 
то система называется невырожденной; если 
– вырожденной.
Методы решения невырожденных систем используются для решения линейных систем (13.9), состоящих из n уравнений с n неизвестными, для которых 
Метод обратной матрицы состоит в решении матричного уравнения 
Метод Крамера также используют для решения невырожденных систем. Неизвестные находят по формулам Крамера
(13.10)
где D i – определитель, получаемый из определителя D системы (13.8) заменой i -го столбца столбцом свободных членов.
Решение произвольной линейной системы из m уравнений и n неизвестных начинается с нахождения ранга. Пусть 
и система (13.7) сведена к эквивалентной системе
(13.11)
Если 
то система (13.11) имеет единственное решение, которое можно получить указанными выше методами; если 
то существует бесконечное множество решений. Для его получения неизвестные x 1, x 2, …, xr называют базисными, xr + 1, xr + 2, …, xn – свободными, система (13.11) записывается в виде
Свободным переменным присваиваются произвольные численные значения с 1, с 2, …, сn – r.
Последняя система решается, например, методом Крамера.
Метод Гаусса используют для решения произвольных систем. С помощью элементарных преобразований над строками расширенную матрицу системы (13.7) приводят к виду
Соответствующая ей система, равносильная (13.7), примет вид:
(13.12)
Если хотя бы одно из чисел 
…, 
отлично от нуля, то система (13.12), а значит, и исходная система (13.7) не совместны.
Если 
= … = = 0, то система (13.12) позволяет получить явное выражение для базисных неизвестных x 1, …, xr через свободные неизвестные xr +1, …, xn. Таким образом получают бесконечное множество решений.
Если r = n, то свободные переменные отсутствуют, а значит, системы (13.12) и (13.7) имеют единственное решение.
На практике обычно обходятся приведением матрицы системы (13.7) к треугольной или трапециевидной форме, после чего значения базисных переменных ищутся в обратном порядке.
Решение произвольной линейной системы (13.7) из m уравнений и n неизвестных целесообразно начинать с нахождения ранга. Пусть и система (13.7) сведена к эквивалентной системе.
Если r = n, то система (13.7) имеет единственное решение, которое можно получить указанными выше методами. Если r < n, то существует бесконечное множество решений. Для его получения неизвестные х 1, х 2, …, хr объявляют базисными, xr +1, xr +2, …, xn – свободными, систему (13.12) записывают в виде
Присваивая xr +1, xr +2, …, xn произвольные численные значения с 1, с 2, …, сn – r соответственно, получают решение в виде
Пример 1. Решить разными способами систему уравнений
Решение. 1-й способ. Используем метод обратной матрицы. Запишем матрицу системы:
Матрица А невырожденная, так как ее определитель не равен нулю. Действительно,
(13.13)
Найдем обратную матрицу А –1:
А 11 = –3; А 21 = –5; А 31 = 5;
А 12 = 1; А 22 = 1; А 32 = –1;
А 13 = 7; А 23 = 13; А 33 = –11.
Следовательно,
Используем далее формулу (13.10):
т. е. x 1 = –2, x 2 = 0, x 3 = 8 – единственное решение.
Получаем ответ: (–2; 0; 8).
2-й способ. Используя формулы Крамера (13.10), вычисляем определитель системы (13.13).
Заменяем в определителе D первый столбец столбцом свободных членов и вычисляем
Заменяем в определителе D второй столбец столбцом свободных членов и вычисляем
Заменяем в определителе D третий столбец столбцом свободных членов. Тогда
Тогда, используя формулы (13.10), получим:
Таким образом получаем решение (–2; 0; 8).
3-й способ. Используем метод Гаусса. Приведем заданную систему к равносильной. Для этого осуществим элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:
Последней матрице соответствует система
Из нее последовательно находим неизвестные, начиная с x 3:
Таким образом, приходим к ответу (–2; 0; 8).
Пример 2. Исследовать систему на совместность и найти ее решение
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
Наибольший порядок отличных от нуля миноров равен 2 (так как любой минор 3-го порядка содержит нулевую строку, то он будет равен нулю). Значит, 
т. е. исходная система совместна.
Поскольку ранг меньше количества неизвестных (2 < 5), то система имеет бесконечное множество решений.
Выберем в качестве базисного минор 
Тогда х 1, х 2 – базисные неизвестные, х 3, х 4, х 5 – свободные. Система, равносильная исходной, имеет вид:
Полагаем х 3 = с 1, х 4 = с 2, х 5 = с 3,
где с 1, с 2, с 3 – произвольные постоянные, и решаем указанную систему.
Получаем:
Таким образом, решение примет вид:
где 
Пример 3. Найти матрицу 
и действительное число l, для которых выполняется условие
Решение. Введем обозначение 
Тогда условие задачи запишется в виде
или 
Очевидно, что при любом действительном l нулевая матрица удовлетворяет равенству, т. е. Х = 0.
Пусть 
Тогда ненулевое решение найдем, если матрица 
окажется вырожденной, т. е. 
Решаем последнее уравнение относительно l:
Значит, 
при 
что справедливо при 
Рассмотрим случай, когда l = 1. Тогда 
Запишем последнее равенство в виде системы
Получаем 
Если 
то 
Значит, матрица X, удовлетворяющая заданному матричному уравнению при l = 1, примет вид:
При l = –2 аналогично получим систему
из которой находим
или 
Таким образом, приходим к следующему заключению относительно выполнимости условия:
1) если l = R, то Х = 0;
2) если l = 1, то 
3) если l = –2, то 
Следовательно, данная задача имеет нетривиальное (т. е. ненулевое) решение лишь при l = 1 или l = –2.
Задания
I уровень
1.1. Запишите систему в матричном виде:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Используя формулы Крамера и метод обратной матрицы, решите систему уравнений:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.3. Используя теорему Кронекера-Капелли, исследуйте систему на совместность и найдите решение методом Гаусса:
1) 
2) 
3) 
4) 
II уровень
2.1. Решите систему уравнений, используя формулы Крамера:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
2.2. Решите систему уравнений, пользуясь методом обратной матрицы:
1) 
2) 
2.3. Исследуйте систему на совместность и решите методом Гаусса:
1) 
2) 
2.4. Докажите, что система имеет единственное нулевое решение:
1) 
2) 
2.5. Найдите ненулевое решение однородной системы линейных уравнений:
1) 
2) 
2.6. Решите неоднородную систему линейных уравнений:
1) 
2) 
2.7. Найдите ненулевую матрицу X и соответствующее ей значение действительного числа l, для которых справедливо матричное уравнение 
III уровень
3.1. Определите, при каких значениях параметра а система уравнений имеет решение. Найдите решение в зависимости от а:
1) 
2) 
3.2. Найдите неизвестные коэффициенты функции, удовлетворяющей условиям:
1) 
2) 
3.3. Найдите уравнение параболы, проходящей через точки А (–1; 10), В (0; 3) и С (1; 0).
3.4. Исследуйте данную систему на совместность в зависимости от значения параметра а. Найдите, если оно существует, решение системы
3.5. При каких значениях параметра а хотя бы при одном значении параметра с система имеет решение для любых значений параметра b?
3.6. Дано: 
При решении электротехнической задачи получена система уравнений
Найдите значения токов I 1, I 2, I 3.
3.7. Дано: 
При решении электротехнической задачи получена система уравнений
Найдите значения токов I 1, I 2, I 3, I 4, I 5, I 6.
3.8. Дано: 
1) При решении электротехнической задачи получена система уравнений
Найдите значения токов Ik 1, Ik 2, Ik3.
2) Найдите значения токов I 1, I 2, I 3, I 4, I 5, I 6 из следующей системы уравнений:
