Основные методы вычисления определителей

1. Для определителей 3-го порядка используют правило треугольников, которое схематично можно изобразить следующим образом:

 

Линии соединяют по три элемента, которые умножаются, а затем произведения складываются.

2. Определитель порядка n может быть вычислен разложением по любой строке (столбцу):

3. Метод эффективного понижения порядка определителя: используя свойства определителя, его преобразуют к такому виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, стали нулевыми, затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).

4. Метод приведения к треугольному или диагональному виду с использованием свойств определителя, когда определитель равен произведению диагональных элементов.

 

Пример 1. Вычислить определитель различными спо­собами.

Решение. 1-й способ. Используем правило треугольников:

2-й способ. Разложим определитель по первой строке:

3-й способ. Занулим элементы первой строки, т. е. используем метод эффективного понижения порядка. Для этого прибавим к элементам 3-го столбца элементы 1-го столбца. Затем разложим определитель по 1-й строке:

4-й способ. Используя свойства определителя, приведем его к треугольному виду:

 

Пример 2. Вычислить определитель

Решение. Используем метод эффективного понижения порядка. Для этого из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью строку. Полученный определитель разложим по первому столбцу:

Далее, ко второму столбцу определителя Δ прибавим третий столбец, после чего преобразуем следующим образом: прибавим к первому и третьему столбцам второй столбец, умноженный соответственно на –4 и на –6. В результате получим:

 

Пример 3. Выяснить, при каких условиях определитель не равен нулю.

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

Значит, , при .

 

Пример 4. Доказать равенство

Решение. Для доказательства используем метод математической индукции. Проверим справедливость утверждения при n = 1 и 2.

Пусть равенство выполняется при n = k, где k > 2, т. е. Докажем истинность при n = k + 1.

Утверждение доказано методом математической индукции.

 

Пример 5. Вычислить определитель:

1)

2) где

Решение. 1) Перейдем к алгебраической форме записи всех элементов заданной матрицы: Тогда

2) Вычислим определитель разложением по третьему столбцу:

Поскольку то

Значит,

 

Задания

I уровень

1.1. Вычислите определитель:

1) 2) 3) 4)

 

1.2. Вычислите определитель с помощью правила треугольников:

1) 2) 3)

 

1.3. Найдите миноры М ₁₁, М ₂₁ и алгебраические дополнения А ₁₃, А ₃₂ для матрицы

 

1.4. Вычислите определитель, используя разложения по 1-й строке и по 2-му столбцу:

1) 2)

3) 4)

 

II уровень

2.1. Вычислите определитель, используя разложение по первой строке:

1) 2)

3) 4)

 

2.2. Вычислите определитель:

1) 2)

3) 4)

 

2.3. Вычислите определитель:

1) 2)

2.4. Используя метод эффективного понижения порядка, вычислите определитель:

1) 2)

 

2.5. Вычислите определитель приведением к треугольному виду:

1) 2)

 

2.6. Вычислите степень определителя:

1) 2)

 

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1) 2)

 

3.2. Определите, при каких действительных a, b, c и d уравнение имеет два равных действительных корня.

 

3.3. Вычислите определитель:

1) 2)

3.4. Найдите определитель:

1) 2)

3) 4)

 

3.5. Решите неравенство:

1) 2)

 

3.6. Постройте график функции если

 

3.7. Вычислите определитель:

1) 2)

3) где

 

 

3.8. Вычислите определитель:

1) 2)