Предисловие
Особенностью образовательной системы Республики Беларусь является становление и развитие учебных заведений различного типа, в том числе колледжей и высших колледжей. В условиях многоуровневого образования в системе учебных заведений колледж–университет актуальна реализация принципов непрерывности и преемственности в обучении.
Предлагаемое учебное пособие «Математика в примерах и задачах» в 6-ти частях призвано обеспечить процесс изучения математики в высших колледжах и колледжах технического профиля. Оно может быть использовано учащимися на практических занятиях, а также при самостоятельном изучении математики.
При создании настоящего пособия авторы ставили перед собой несколько целей: во-первых, дать значительное количество задач (типовых и оригинальных), которые бы достаточно полно отображали суть основных математических понятий; во-вторых, обеспечить необходимой теоретической информацией для их решений; в-третьих, по каждой теме привести решение основных типов задач; в-четвертых, предлагаемый для решения набор задач распределить по трем уровням сложности. Все эти цели и определили структуру учебного пособия, которое делится на главы, главы – на параграфы. В начале каждого параграфа содержится необходимый справочный материал, затем – решение нескольких задач и набор заданий трех уровней сложности.
Предлагаемая структура учебного пособия, по мнению авторов, делает возможным самостоятельное изучение математики. Его использование позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении – каждый учащийся может решать задания доступного ему уровня сложности.
Пособие разработано и прошло апробацию в УО «Минский государственный высший радиотехнический колледж» (МГВРК) в процессе обучения учащихся после базовой школы.
Характерной особенностью методического подхода к изучению математики в МГВРК является построение интегрированного курса математических дисциплин. Этим объясняется то обстоятельство, что определенные темы высшей математики введены в контекст элементарной математики. Поскольку на практике широко реализуется непрерывное образование в системе учебных заведений колледж–университет (в том числе МГВРК интегрирован с Белорусским государственным университетом информатики и радиоэлектроники), то при разработке данного учебного пособия авторы использовали (как и в реальном учебном процессе) в качестве типовых программу изучения математики в средних школах Беларуси и программу изучения высшей математики для высших учебных заведений по специальностям электро-, радиотехники и информатики.
Таким образом реализуются основы непрерывного продолжения обучения в университете. Кроме того, предлагаемое учебное пособие может быть использовано в колледжах при изучении математики по различным базовым и рабочим программам – менее или более полным.
«Математика в примерах и задачах. Часть 3» является непосредственным продолжением учебного пособия «Математика в примерах и задачах. Части 1–2». В этих изданиях принята единая нумерация глав. Предлагаемое пособие (третья часть) состоит из шести глав (гл. 13–18). В отношении авторства отметим, что они подготовлены следующим образом:
М. А. Калугина – гл. 13 «Линейная алгебра», гл. 14 «Векторная алгебра», гл. 15 «Аналитическая геометрия в пространстве»;
Е. В. Уласевич – гл. 16 «Предел и непрерывность функции», гл. 17 «Дифференциальное исчисление»;
Н. В. Михайлова – гл. 18 «Функции многих переменных».
Научно-методическое редактирование осуществила Л. И. Майсеня, она является соавтором всего пособия.
Авторы благодарны рецензентам учебного пособия – доктору физ.-мат. наук, профессору А. В. Метельскому и сотрудникам кафедры высшей математики БГУИР, особенно зав. кафедрой, доктору физ.-мат. наук В. В. Цегельнику и профессору А. А. Карпуку, за очень внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, устранение которых улучшило наше издание.
Надеемся, что предлагаемое издание будет содействовать активизации мыслительной деятельности учащихся и повышению эффективности учебного процесса при изучении математики.
Линейная алгебра
Матрицы и операции над ними
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами. Матрицы обозначают A, B, C, X …. Запись aij используют для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца). Числовую матрицу размеров 
(т. е. состоящую из m строк и n столбцов чисел) в общем случае записывают в виде
или в более компактной форме 
Ее обозначают также 
Если m = n матрицу называют квадратной порядка n и обычно обозначают An. Элементы aii, 
такой матрицы образуют ее главную диагональ.
Квадратная матрица вида
(13.1)
где 
называется диагональной. Если 
для любого 
то матрица (13.1) называется единичной и обозначается En.
Верхней и нижней треугольными матрицами называются квадратные матрицы вида
и 
соответственно.
Трапециевидной матрицей называется матрица вида
где числа a 11, a 12, …, akk отличны от нуля.
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.
Две матрицы одинакового размера
и 
(13.2)
называются равными, если 
для всех 
Суммой матриц (13.2) называется матрица A + B размеров m × n, состоящая из элементов 
где
Произведением матрицы Am×n на число α называется матрица 
Разностью матриц (13.2) называется матрица A – B = A + (–1) B.
Противоположной к В называется матрица – В, такая что 
