Метод элементарных преобразований

Используя элементарные преобразования строк, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.

Как частный случай последнего метода, может быть рассмотрен метод нулей и единиц: элементарным преобразованием строк матрицу приводят к эквивалентной, состоящей или из нулевых строк и столбцов, или из строк и столбцов, в которых содержится ровно одна единица, а остальные элементы – нулевые. Количество единиц в такой матрице равно ее рангу.

 

Пример 1. Исследовать матрицу A на невырожденность, найти А ^–1, если она существует, результат проверить.

Решение. Вычислим определитель матрицы A

Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица А ^–1.

1-й способ. Используя формулу (13.4), найдем алгебраические дополнения:

Тогда и по формуле (13.4) имеем:

(13.5)

2-й способ. Воспользуемся эквивалентностью матриц и

Следовательно,

Для контроля правильности результата достаточно проверить условия Действительно,

Аналогично

Пример 2. Решить матричное уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

(13.6)

где A, B, C – заданные матрицы.

Умножим уравнение (13.6) слева на А ^–1 и справа на В ^–1. Тогда справедливо или, учитывая определение обратной матрицы,

Найдем А ^–1 и В ^–1:

Тогда

Значит,

 

Пример 3. Доказать, что матрица A является ортогональной, т. е. для нее выполняется равенство

Решение. Найдем А^Т и проверим равенство

Мы доказали ортогональность матрицы A.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. 1-й способ. Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Фиксируем Для М ₂ окаймляющими будут два минора 3-го порядка:

Значит, r_A = 2, а базисным минором можно считать, например, М ₂.

2-й способ. Преобразуем матрицу A:

Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же ранг исходной матрицы.

З а м е ч а н и е. О том, что ранг матрицы A равен 2, можно было судить на третьем шаге преобразований (во 2-м способе), когда получили нулевую строку и ненулевой минор (выделен) максимального порядка 2.

 

Задания

 

I уровень

1.1. Найдите обратные матрицы для следующих матриц:

1) 2) 3) 4)

1.2. Решите матричное уравнение:

1) 2)

3) 4)

 

1.3. Найдите какой-либо базисный минор матрицы:

1) 2) 3)

 

1.4. Определите ранг матрицы:

1) 2)

 

II уровень

2.1. Найдите обратную матрицу для заданной матрицы, используя формулу (13.4):

1) 2)

3) 4)

 

2.2. Методом эквивалентных преобразований найдите обратные для следующих матриц:

1) 2) 3)

2.3. Решите матричное уравнение (найдите матрицу X):

1)

2)

3)

4)

 

2.4. Найдите ранг матрицы:

1) 2)

3) 4)

 

III уровень

3.1. Найдите ранг матрицы в зависимости от значения параметра а:

1) 2)

3.2. Определите, какие из приведенных матриц удовлетворяют соотношению где – матрица, элементы которой являются комплексно-сопряженными с элементами матрицы A:

1) 2)

3) 4)

3.3. Найдите обратные матрицы для следующих матриц:

1) 2)