Свойства операции транспонирования матриц

1)

2)

3)

4)

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение то матрица A называется симметрической матрицей, а если – то кососимметрической.

Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:

1) перестановку строк;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.

Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.

 

Пример 1. Найти 2 A – 3 B, если

Решение. Прежде всего следует заметить, что матрицы A и B имеют одинаковый размер 2×3. Поэтому по определению линейных операций над матрицами имеем:

 

Пример 2. Если возможно, вычислить соответствующие произведения и проверить справедливость равенства AB = BA для следующих пар матриц:

1) 2)

3) 4)

5)

Решение. 1) Матрицы A и B согласованные, так как матрица A имеет размер 2×2, а матрица B – размер 2×3, т. е. количество столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы B.

Умножение матрицы B на матрицу A невозможно, так как матрицы не согласованы (число 3 столбцов матрицы B не равно числу 2 строк матрицы A).

2) Произведения AB и BA могут быть найдены, так как в обоих случаях матрицы согласованы:

.

Приходим к выводу, что

Приведенный пример иллюстрирует не только отсутствие свойства коммутативности операции умножения для многих согласованных для этого действия матриц, но и показывает, что при умножении двух ненулевых матриц может быть получена нулевая.

3) Матрицы A и B согласованы для умножения, но произведения AB и BA имеют разные размеры и элементы:

AB и BA – квадратные матрицы размеров 3×3 и 2×2 соответственно,

4)

Приходим к заключению, что

Очевидно, что условие будет соблюдаться для любых диагональных матриц одного размера.

5) Матрицы A и B согласованы для умножения:

при соблюдении условий: т. е. при Таким образом, матрица A является коммутативной с матрицей или где a, b, с – любые действительные числа.

 

Пример 3. Найти матрицу X, удовлетворяющую условию если известна матрица

Решение. Запишем равенство в виде а затем и, наконец, Поскольку то

Пример 4. Найти значение матричного многочлена f (A), если

Решение. По условию задачи

 

Пример 5. Привести матрицу А к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк, если

Решение. Поменяв строки местами, получим матрицу, эквивалентную исходной:

Затем запишем вместо второй строки сумму первой, умноженной на (–2), и второй, а вместо третьей – результат сложения первой, умноженной на (–3), и третьей:

Осталось прибавить к третьей строке вторую, умноженную на (–2):

В результате получена треугольная матрица, эквивалентная матрице A.

Эти преобразования (без комментария) записывают в виде

Задания

 

I уровень

1.1. Найдите линейную комбинацию 3 A + 2 B матриц A и B, если:

1)

2)

3)

 

1.2. Вычислите:

1) 2)

3) 4)

 

1.3. Найдите значения f (A) и f (B) функций f (х), если:

1)

2)

 

1.4. Приведите матрицу к трапециевидной или треугольной форме:

1) 2) 3)

 

1.5. Пусть Найдите

 

II уровень

2.1. Найдите сумму, разность и произведение матриц A и B, если:

1)

2)

3)

 

2.2. Выполните действия:

1)

2)

3)

 

 

2.3. Вычислите n -ю степень матрицы, n Î N:

1) 2) 3)

 

2.4. Найдите матрицу X из условия

 

2.5. Найдите если:

1)

2)

 

2.6. Найдите значение функции f(A), если:

1)

2)

 

III уровень

3.1. Возведите матрицу в степень:

1) 2)

3) 4)

3.2. Найдите матрицы, коммутативные (перестановочные) с заданной:

1) 2) 3)

 

3.3. Найдите матрицы второго порядка, квадрат которых равен:

1) нулевой матрице; 2) единичной матрице.

 

3.4. Определите условие, при котором справедливо равенство:

1) 2)

 

3.5. Для матриц A и B докажите равенство:

1) 2) (A + B) ^T = A^T + B^T;

3) (kA) ^T = kA^T, где k – число; 4) (AB) ^T = B^TA^T.