P Ú ~p, p ® p, ( p /\ q) ® p.

Построив для этих формул таблицы истинности, будет нетрудно убедиться, что каждая из формул, действительно всегда истинна.

Если некоторая формула языка логики высказываний при всех значениях входящих в нее переменных принимает значение «ложно», то такая формула называется тождественно ложной. Например: p Ù ~p, ~(p ®(p Ú q)). Формула, не являющаяся ни тождественно ложной, ни тождественно истинной называется выполнимой. Например: pÙ q Ú r.

В этом также легко убедиться, построив для каждой из них таблицу истинности.

Отрицанием сложного суждения, представляющего только конъюнкцию или только нестрогую дизъюнкцию, будет суждение, состоящее из отрицаний тех же самых простых суждений, соединенных между собой логическими союзами, противоположными первоначальным (конъюнкция заменяется нестрогой дизъюнкцией, а нестрогая дизъюнкция – конъюнкцией).

Иными словами: ~(p Ù q) º ~p Ú ~q, ~(r Ú l) º ~r Ù ~l. Эти тождества называются законами де Моргана.

Опираясь на эти законы, легко убедиться в том, что для сложного высказывания

pÚqÚrÚ~l будет верным тождество ~(pÚqÚrÙ~l) º ~pÙ~qÙ~rÚl.

Для импликации p ® q будет верным, что ~(p ® q) º (p Ù~q). Все эти тождества легко проверить с помощью таблиц истинности.

При необходимости получить отрицание какого-либо сложного высказывания естественного языка, необходимо сначала формализовать это высказывание, затем получить отрицание этого формального высказывания, и, наконец, «перевести» полученную в результате отрицания формулу на естественный язык.

Пусть, например, нам требуется найти высказывание, являющееся отрицанием сложного суждения «Если у меня будет свободное время и желание, то я прочитаю эту книгу». Обозначим суждение «У меня будет свободное время» буквой p, суждение «У меня будет желание» - q, а суждение «я прочитаю эту книгу» - r. Формула, соответствующая этому высказыванию в наших обозначениях будет иметь вид: (pÙq) ®r. Ее отрицание ~(pÙq) ®r эквивалентно формуле (pÙq) Ù~r,что в переводе на язык обыденного общения означает: «У меня будет свободное время и желание, но я не прочитаю эту книгу».

Среди простых суждений различают сравнимые и несравнимые. Простые суждения называют сравнимыми, если их термины совпадают с точностью до перестановки. К таким суждениям относятся, например, суждения: «Все адвокаты имеют высшее образование» и «Некоторые адвокаты имеют высшее образование». Простые суждения называют несравнимымив том случае, если хотя бы в одном из суждений имеется термин, которого нет в другом. Пример: «Он был титулярный советник» и «Она – генеральская дочь».

Среди простых сравнимых суждений различают суждения совместимые и несовместимые.

Простые совместимые суждения – это сравнимые суждения, которые могут быть одновременно истинными. Пример: “Река Волга является рекой России” и “Среди рек России есть и река Волга”.

Простые несовместимые суждения – это сравнимые суждения, которые не могут быть истинными одновременно. Пример: «Все преподаватели имеют высшее образование» и «Ни один преподаватель не имеет высшего образования».

Среди совместимых суждений различают равнозначащие, подчиненные и субконтрарные. А среди несовместимых – противоречащие (контрадикторные) и контрарные.

Равнозначащие простые суждения выражают одну и ту же мысль, но имеют различную грамматическую форму. Эти суждения либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Например: «Каждый квадрат имеет равные углы» и «У любого правильного четырехугольника все углы равны друг другу».

Подчиненные простые суждения имеют один и тот же предикат, а субъект одного из них по своему объему является более широким понятием, чем второе

Например, «Все суждения являются предложениями» и «Все простые суждения являются предложениями».

В отношении подчинения находятся и суждения с одинаковыми субъектами и предикатами, имеющие одинаковую качественную, но различные количественные характеристики (это пары A – I, E –O ). Например: «Все львы - хищники» и «Некоторые львы - хищники». Частные суждения при этом называют подчиненными, а общие – подчиняющими суждениями.

Подчиненные суждения могут быть либо одновременно истинными, либо одновременно ложными, а возможен и такой вариант, что при истинности одного из них второе является ложным. При этомистинность подчиняющего суждения обусловливает истинность подчиненного, а ложность подчиненного суждения влечет ложность подчиняющего. Обратное неверно.