Задачи для самостоятельного решения. 4.1. На основе данных выборки: n = 25; = 56; S2 = 36 поверить гипотезу Н0: = 58 против Н1: ¹ 58 с уровнем значимости a = 0,05.

4.1. На основе данных выборки: n = 25; = 56; S ² = 36 поверить гипотезу Н ₀: = 58 против Н ₁: ¹ 58 с уровнем значимости a = 0,05.

4.2. На основе данных выборки из нормально распределенной генеральной совокупности объемом n = 40 получено = 24, s_в = 6. С уровнем значимости a =0,01 проверить гипотезу Н ₀: = 26 против Н ₁: > 20.

4.3. На основе данных выборки: n = 49; _в = 76; S ² = 64 поверить гипотезу Н ₀: = 79 против Н ₁: < 79 с уровнем значимости a = 0,05.

4.4. Рассматривается некоторый технологический процесс, точность измеряемого параметра которого характеризуется стандартной величиной s ² = 625. Измеряющие значения этого параметра подчинены нормальному закону. По данным контрольной выборки: n = 36, S ² = 900 проверить статистическую гипотезу о не нарушении технологического процесса с точки зрения точности параметра.

4.5. Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем в неделю 400 г веса. Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430 г со среднеквадратическим отклонением 110 г. Проверить гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 г. Уровень значимости a = 0,05.

4.6. На основании сделанного прогноза средняя дебиторская задолженность однотипных предприятий региона должна составить 120 ден.ед.. Выборочная проверка 10 предприятий дала среднюю задолженность 135 ден.е., а среднеквадратическое отклонение задолженности равно 20 ден.ед. На уровне значимости a = 0,05 проверить гипотезу о том, что средняя дебиторская задолженность действительно равна 120 ден.ед.

4.7. На основании выборочных наблюдений производительности труда 20 работниц было установлено, что среднеквадратическое отклонение суточной выработки составляет 15 м ткани в час. Предполагая, что производительность труда работницы имеет нормальное распределение на уровне значимости a = 0,1 проверить гипотезу о том, что среднеквадратическое отклонение суточной выработки работниц равно 20 м/ч.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

«Математическая для юристов», как дисциплина изучает методы теории вероятностей и математической статистики. Результаты исследования данных этими методами используются для принятия решений в задачах планирования, управления и прогнозирования.

Особое значение приобрели основные понятия и методы математической статистики с дальнейшим развитием программирования и вычислительной техники. Для обработки статистических данных созданы специальные пакеты, которые выполняют трудоемкую работу по расчету различных статистик, построению графиков и таблиц. К наиболее важным и часто применяемым пакетам можно отнести STADIA, SYSTAT, STATGRAPHICS и другие.

Практическое приложение данных методов будет изучаться в дисциплине «Правовая статистика»

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Значение функции .

 

х
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1.9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0	0,3989 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683 0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661 0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497 0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656 0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,01750,0136 0,0104 0,0079 0,0060 0,0044	0,39890,39650,39020,38020,3668 0,3503 0,3312 0,3101 0,2874 0,2637 0,2396 0,2155 0,1919 0,1691 0,1476 0,1276 0,1092 0,0925 0,0775 0,0644 0,0529 0,0431 0,0347 0,0277 0,0219 0,0171 0,01320,01010,0077 0,0058 0,0043	0,39890,39610,38940,37900,36530,3485 0,3292 0,3079 0,2850 0,2613 0,2371 0,2131 0,1895 0,1669 0,1456 0,1257 0,1074 0,0909 0,0761 0,0632 0,0519 0,0422 0,0339 0,0270 0,02120,01670,0129 0,00990,00750,0056 0,0042	0,39880,39560,38850,37780,36370,3467 0,3271 0,3056 0,2827 0,2589 0,2347 0,2107 0,1872 0,1647 0,1435 0,1238 0,1057 0,0893 0,0748 0,0620 0,0508 0,0413 0,0332 0,0264 0,02080,01630,01260,00960,00730,0055 0,0040	0,39860,39510,38760,37650,36210,3448 0,3251 0,3034 0,2803 0,2565 0,2323 0,2083 0,1849 0,1626 0,1415 0,1219 0,1040 0,0878 0,0734 0,0608 0,0498 0,0404 0,0325 0,0258 0,02030,01580,01220,00930,00710,0053 0,0039	0,39840,39450,38670,37520,36050,3429 0,3230 0,3011 0,2780 0,2541 0,2299 0,2059 0,1826 0,1604 0,1394 0,1200 0,1023 0,0863 0,0721 0,0596 0,0488 0,0396 0,0317 0,0252 0,01980,01540,01190,00910,00690,0051 0,0038	0,39820,39390,38570,37390,35890,3410 0,3209 0,2989 0,2756 0,2516 0,2275 0,2036 0,1804 0,1582 0,1374 0,1182 0,1006 0,0848 0,0707 0,0584 0,0478 0,0387 0,0310 0,0246 0,01940,01510,01160,00880,00670,0050 0,0037	0,39800,39320,38470,37250,35720,3391 0,3187 0,2966 0,2732 0,2492 0,2251 0,2012 0,1781 0,1561 0,1354 0,1163 0,0989 0,0833 0,0694 0,0573 0,0468 0,0379 0,0303 0,0241 0,01890,01470,01130,00860,00650,0048 0,0036	0,39770,39250,38360,37120,35550,3372 0,3166 0,2943 0,2709 0,2468 0,2227 0,1989 0,1758 0,1539 0,1334 0,1145 0,0973 0,0818 0,0681 0,0562 0,0459 0,0371 0,0297 0,0235 0,01840,01430,01100,00840,00630,0047 0,0035	0,39700,39180,38250,36970,35380,3352 0,3144 0,2920 0,2685 0,2444 0,2203 0,1965 0,1736 0,1518 0,1315 0,1127 0,0957 0,0804 0,0669 0,0551 0,0449 0,0363 0,0290 0,0229 0,01800,01390,01070,00810,00610,0046 0,0034

 

х		х		х
3,100 - 3,101 3,102 - 3,111 3,112 - 3,122 3,123 - 3,132 3,133 - 3,143 3,144 - 3,155 3,156 – 3,166 3,167 - 3,178 3,179 - 3,191 3,192 - 3,204 3,205 - 3,218	0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023	3,219 - 3,232 3,233 - 3,246 3,247 - 3,262 3,263 - 3,278 3,279 - 3,297 3,298 - 3,312 3,314 - 3,331 3,332 - 3,351 3,352 - 3,373 3,374 - 3,395 3,396 - 3,420	0,0022 0,0021 0,0020 0,0019 0,0018 0,0017 0,0016 0,0015 0,0014 0,0013 0,0012	3,421 - 3,446 3,447 - 3,475 3,476 - 3,507 3,508 - 3,543 3,544 - 3,583 3,584 - 3,629 3,630 - 3,684 3,685 - 3,751 3,752 - 3,840 3,841 - 3,971 3,972 - ∞	0,0011 0,0010 0,0009 0,0008 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0000

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Значение функции Лапласа .

 

х
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1.9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0	0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4987	0,00400,04380,08320,12170,15910,1950 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 ,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920 0,49400,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4987	0,00800,04780,08710,12550,16280,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,49220,49410,4956 0,4967 0,4976 0,4982 0,4987	0,01200,05170,09100,12930,16640,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732 0,4788 0,4834 0,4871 0,4901 0,49250,49430,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4987	0,01600,05570,09480,13310,17000,2054 0,2389 0,2704 0,2995 0,3264 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738 0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,49270,49450,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4987	0,01990,05960,09870,13680,17360,20880,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,49290,49460,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4987	0,02390,06360,10260,14060,17720,21230,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750 0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,49310,49480,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4987	0,02790,06750,10640,14430,18080,21570,2486 0,2794 0,3078 0,3340 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,4808 0,4850 0,4884 0,4893 0,49320,49490,4962 0,4972 0,4979 0,4985 0,4987	0,03190,07140,11030,14800,18440,21900,2517 0,2823 0,3106 0,3365 0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761 0,4812 0,4854 0,4887 0,4911 0,49340,49510,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4987	0,03590,04530,11410,15170,18790,22240,2549 0,2852 0,3133 0,3389 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 0,4817 0,4857 0,4890 0,4913 0,49360,49520,4964 0,4974 0,4981 0,4986 0,4987

 

х		х		х
3,000 - 3,020 3,024 - 3,048 3,049 - 3,075 3,076 - 3,105 3,133 - 3,138	0,4987 0,4988 0,4989 0,4990 0,4991	3,139 - 3,174 3,175 - 3,215 3,216 - 3,263 3,264 - 3,320 3,321 - 3,389	0,4992 0,4993 0,4994 0,4995 0,4996	3,390 - 3,480 3,481 - 3,615 3,616 - 3,890 3,891 - ∞	0,4997 0,4998 0,4999 0,5

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

 

Критические точки распределения Стьюдента.

 

Число степеней свободы υ	Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)
0,1	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
∞	6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66 1,64	12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96	31,82 6,97 4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2,49 2,48 2,47 2,46 2,46 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33	63,7 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58	318,3 22,33 10,22 7,17 5,89 5,21 4,79 4,50 4,30 4,14 4,03 3,93 3,85 3,79 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58 3,55 3,53 3,51 3,49 3,47 3,45 3,44 3,42 3,40 3,40 3,39 3,31 3,23 3,17 3,09	637,0 31,6 12,9 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,01 3,96 3,92 3,88 3,85 3,82 3,79 3,77 3,74 3,72 3,71 3,69 3,66 3,66 3,65 3,55 3,46 3,37 3,37
Число степеней свободы υ	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
Уровень значимости α (односторонняя критическая область)

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

 

Критические точки распределения .

 

Число степеней свободы υ	Уровень значимости α
0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
	6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9	5,0 7,4 9,4 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5 21,9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 30,2 31,5 32,9 34,2 35,5 36,8 38,1 39,4 40,6 41,9 43,2 44,5 45,7 47,0	3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8	0,0039 0,103 0,352 0,711 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5	0,00098 0,051 0,216 0,484 0,831 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,3 11,0 11,7 12,4 13,1 13,8 14,6 15,3 16,0 16,8	0,00016 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0

 

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Математика для юридических специальностей: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования / С.Я. Казанцев, О.Э. Згадзай, Н.Х. Сафиулин, Н.Р. Шевко; под ред. С.Я. Казанцева – М.: Академия, 2011. – 224с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник – М.: КНОРУС, 2010. – 576с.

Дополнительная

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов - М.: Высшая школа, 2004. - 479 c.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 2004. - 405 c.

3. Шипачев В.С. Курс высшей математики: учебник / под ред. А.Н. Тихонова – М.: Проспект, 2004. – 600с.