Понятие случайного события, виды событий

Математика для юристов

Учебное пособие

Для слушателей 2 курса заочной формы обучения

По специальности 40.05.01

«Правовое обеспечение национальной безопасности»

Санкт-Петербург

Иванов А.Н., Подружкина Т.А.

Математика для юристов: учебное пособие для слушателей 2 курса заочной формы обучения по специальности 40.05.01«Правовое обеспечение национальной безопасности» – СПб.: Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России, 2015. – 122с.

Учебное пособие разработано в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика для юристов» и предназначено для слушателей 2 курса заочной формы обучения по специальности 40.05.01 «Правовое обеспечение национальной безопасности».

ВВЕДЕНИЕ

В пособии определяется понятие случайного события, выясняются, какими могут быть события и какие действия можно проводить над ними. Далее приводятся различные определения вероятности случайного события, основные теоремы теории вероятностей и следствия из них. Особое внимание уделено независимым испытаниям, связанным со случайными событиями. В пособии дано понятие случайной величины, рассмотрены виды случайных величин. Особое внимание уделено закону распределения случайной величины. Достаточно подробно рассмотрены основные числовые характеристики: их определение, свойства, смысловое значение и формула для нахождения.

Рассмотрены основные понятия математической статистики, рассказывается о теоретических основах главного метода математической статистики – выборочного. Излагается суть этого метода, его основные понятия – понятия генеральной и выборочной совокупностей. Далее определяются основные статистики для выборочного распределения и приводятся формулы для их нахождения.

Дано понятие точечной оценки и ее основных свойств. Указаны наилучшие точечные оценки для основных параметров генеральной совокупности.
Рассмотрено понятие интервальной оценки. Далее определено понятие статистической гипотезы и указаны основные виды гипотез. Последняя лекция
посвящена проверке конкретных статистических гипотез.

При изложении материала для лучшего его понимания приводится много примеров с подробным решением. В конце каждой темы даются контрольные вопросы.

В конце пособия приведены необходимые математико-статистические таблицы.

ГЛАВА I. МАТЕМАТИКА СЛУЧАЙНОГО

1. Понятие и виды случайных событий

Теория вероятностей занимает особое место в семье математических наук. Эта наука изучает особого рода законы, управляющие случайными явлениями.

Практически все события и явления, которые совершаются в окружающем нас мире, взаимосвязаны – одни из них являются следствием (исходом) других и, в свою очередь, служат причиной третьих. Во многих явлениях наряду с совершенно определенными исходами встречаются и неоднозначные исходы. Если первые можно предсказать точно, то вторые допускают лишь вероятностные предсказания. Неоднозначность исходов, прежде всего, связана со случайностями различного рода, которые непосредственно влияют на рассматриваемое явление.

Введение в теорию вероятностей

С различного рода случайностями мы встречаемся очень часто, значительно чаще, чем это принято считать. Случаен результат встречи двух футбольных команд одного и того же уровня. Случайно число очков, выпавших при одном броске игрального кубика. Выручка торгового предприятия за определенный промежуток времени, например за 30 дней, изменяется от месяца к месяцу случайным образом. В основе любого процесса массового обслуживания – торговли, медицинской помощи, телефонной связи, транспортных услуг и т.д. – лежит совокупность случайных факторов.

Мысль о возможности количественной оценки некоторой «случайности» прошла длительный путь, прежде чем преобразовалась в конкретные понятия, используемые в практических задачах и научных исследованиях.

Формирование интереса к задачам, в которых исследуется возможность оценить появление того или иного случайного события или возможность оценить последствия влияния некоторых случайных факторов на результат, происходило, прежде всего, под влиянием развития страхового дела. Однако толчком для того, чтобы великие математики обратили внимание на частные вопросы, связанные с различными случайными событиями, явились азартные игры, игры в кости и карты. Как сказал знаменитый французский ученый С. Пуассон: «Задача, относящаяся к азартным играм, … была источником теории вероятностей». Первый трактат по теории вероятностей был написан Гюйгенсом в 1657 году. Он назывался «О расчетах при азартных играх». Уже в этой книге ученый указывал на возможность возникновения новой науки: «… при внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории глубокой и весьма интересной».

Общепринятое сегодня аксиоматическое определение вероятности было разработано академиком А.Н. Колмогоровым. Предложенная аксиоматика поставила понятие вероятности на строгую математическую основу, в результате чего теория вероятностей окончательно оформилась как полноправная математическая дисциплина.

Теория вероятностей или, как она называлась раньше «математика
случайного» − наука, изучающая специальные методы для решения задач,
возникающих при изучении массы случайных явлений. Этой массе свойственна тенденция к устойчивости, стабильности.

Открыть закономерность в массе случайных событий и явлений – вот
замысел науки о случайном. Теория вероятностей раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Ее методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат однородных случайных явлений. Следовательно, зная законы, управляющие массами случайных явлений, можно добиться, в случае необходимости, целенаправленного изменения хода случайных явлений, их контроля.

Многие разделы теории вероятностей за последние десятилетия превратились в отдельные отрасли науки. Возникли такие дисциплины, как теория
случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации, эконометрика и другие.

Понятие случайного события, виды событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие
случайного события.

Предположим, что при определенном комплексе условий происходит какой-либо процесс, приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Сам этот процесс со своим комплексом условий будем называть опытом или испытанием.

Представим теперь, что производится некоторый опыт или некоторое
испытание, результат (или исход) которого не может быть заранее предсказан. Например, при броске монеты заранее нельзя сказать, как она упадет: гербом или цифрой вверх. Невозможно абсолютно точно предсказать, каков будет курс доллара по отношению к рублю через 6 месяцев? Все эти примеры относятся к области случайных явлений. В каждом из них исход испытания заранее точно непредсказуем. Этот исход и называется случайным событием.

Случайным событием называется всякий исход, который в результате
испытания может произойти или не произойти.

Случайные события будем обозначать большими буквами латинского
алфавита: А, В, С, … и т.д.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Пусть испытание состоит в том, что производится один бросок игрального кубика. Выделим несколько событий возможных в данном
испытании:

А – выпало не более шести очков;

В – выпало семь очков;

С – выпало четыре очка;

D – выпало не менее четырех очков;

Е – выпало четное число очков;

F – выпало нечетное число очков.

Очевидно, что в данном испытании (1 бросок игрального кубика) событие А всегда произойдет, а событие В, наоборот, произойти не может.

Достоверным событием для данного испытания называется событие, которое в этом испытании обязательно произойдет.

Достоверные события будем обозначать буквой U. Следовательно, для рассматриваемого примера А = U.

Невозможным событием для данного испытания называется событие, которое в этом испытании никогда не произойдет.

Невозможные события будем обозначать буквой Λ. Следовательно, для рассматриваемого примера В = Λ.

Необходимо отметить, что достоверным и невозможным события являются именно для данного испытания. Изменив условия испытания можно добиться того, что эти события превратятся в случайные.

События, содержащие только один исход, называются элементарными
(или простыми).

События, содержащие более одного исхода, называются сложными
(или составными).

Для примера 1 событие С является элементарным, а событие D – сложным.

Если для испытания указаны все элементарные события, которые могут в нем произойти, то говорят о том, что задано пространство элементарных событий.

Пространством элементарных событий для данного испытания называется совокупность всех элементарных событий, возможных в данном испытании.

Элементарные события будем обозначать буквами ω ₁, ω ₂, …, а пространство элементарных событий буквой Ω.

Пространство элементарных событий для испытания в примере 1 может быть записано следующим образом

Ω = { ω ₁, ω ₂, ω ₃, ω ₄, ω ₅, ω ₆,},

где ω ₁ – выпало одно очко; ω ₂ – выпало два очка; ω ₃ – выпало три очка; ω ₄ – выпало четыре очка; ω ₅ – выпало пять очков; ω ₆ – выпало шесть очков.

При определении этого пространства, конечно, предполагалось, что кубик в определенном смысле является «идеальной фигурой», т.е. невозможна ситуация, при которой кубик падает на ребро или вершину.

Вернемся к примеру 1 и рассмотрим две пары событий С, Е и С, F. Очевидно, что при одном броске кубика события С, Е могут произойти вместе, а события С, F произойти одновременно не могут.

Два события называются совместными (или совместимыми) в данном испытании, если появление одного из них не исключает появление другого в этом испытании и, несовместными (или несовместимыми) в данном испытании, если появление одного из них исключает появление другого в этом испытании.

Понятно, что события С и Е являются совместными, а события С и F
несовместными при одном броске игрального кубика.

Совместные и несовместные события допускают соответственно следующую геометрическую интерпретацию (см. рис. 1–2):

Рис..1 Рис..2

Это представление называется диаграммой Эйлера-Венна.

Диаграммами Эйлера-Венна называются плоские фигуры, иллюстрирующие пересечение, объединение и разность конечного числа множеств.

События А ₁, А ₂, …, А_n образуют полную группу событий для данного
испытания, если они несовместны и в результате испытания одно из этих событий обязательно произойдет.

Вернемся к примеру 1 и рассмотрим события Е – выпадение четного числа очков и F – выпадение нечетного числа очков при одном броске игрального кубика. Ясно, что, во-первых, в результате испытания одно из этих событий обязательно произойдет, во-вторых, эти события несовместны в данном
испытании. Такие события называются противоположными.

Два события называются противоположными в данном испытании, если в этом испытании они несовместны и одно из них в результате испытания обязательно произойдет.

Событие, противоположное данному событию, будем обозначать той же буквой с чертой наверху.

Очевидно, что в примере 11 события Е и F являются противоположными, следовательно, или .

Итак, в общем случае, противоположное событие Ā дополняет событие А до полной группы или до пространства элементарных событий, что отражено на рис. 3:

Рис. 3

Заметим, что достоверное и невозможное события в одном испытании являются противоположными событиями. Кроме этого, очевидно, что противоположные события А и Ā образуют полную группу несовместных для данного испытания событий.

События называются равновозможными в данном испытании, если по условию испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие.

Со случайными событиями можно проводить некоторые арифметические действия, которые определяют так называемую алгебру событий.

Алгебра событий

Пусть имеется несколько случайных событий. Тогда из них можно строить новые случайные события, используя логические связки «ИЛИ» и «И», которым в теории множеств соответствуют операции объединения и пересечения.
В теории вероятностей эти операции называются сложением и умножением, а результаты этих операций – суммой и произведением событий.

Рассмотрим следующий пример. Пусть проводится стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А означает, что попал в цель первый стрелок, событие В – попал в цель второй стрелок. Введем в рассмотрение еще два события:

С – попал в цель хотя бы один стрелок;

D – попали в цель оба стрелка.

Нетрудно понять, что событие С наступит тогда, когда произойдет либо одно из событий А или В, либо оба этих события вместе. Событие D произойдет только тогда, когда наступит и событие А и событие В.

Суммой событий А и В называется такое событие С=А + В, которое происходит тогда, когда произошло по крайней мере одно из событий А или В.

По определению сумма событий состоит из всех возможных исходов событий А и В, поэтому сумма случайных событий геометрически соответствует объединению множеств, которые определяют события А и В, что показано на рис. 4

Рис..4

Утверждение 1. Сумма двух противоположных событий для данного испытания является достоверным событием, т.е. А + Ā = U.

Сумма событий может состоять не из двух, а из большего числа слагаемых. Тогда суммой конечного числа событий А ₁, А ₂, …, А_n называется событие которое происходит тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А ₁, А ₂, …, А_n.

Произведением событий А и В называется такое событие D = А · В, которое происходит тогда и только тогда, когда произошло и событие А и событие В.

По определению произведение состоит только из тех событий, которые есть и в А и в В, таким образом геометрически произведение определяет пересечение множеств (рис. 5):

Рис. 5

Утверждение 2. Для несовместных событий А и В их произведение есть пустое множество.

Следствие. Произведение противоположных событий является пустым множеством, т.е. А · Ā = Λ.

Произведение событий, также как и сумма событий может состоять не из двух, а из конечного числа сомножителей.

Произведением конечного числа случайных событий А ₁, А ₂, …, А_n называется случайное событие, которое происходит тогда и только тогда, когда произошли все события А ₁, А ₂, …, А_n.

Для решения задач бывает полезно использовать следующие простые соотношения: А или В <=> А + В; А и В <=> А · В.

Используя операции сложения и умножения, можно сложные (составные) события разложить на менее сложные или простые события, что будет существенно упрощать решение задачи.

Кроме суммы и произведения существует понятие разности событий.

Разностью событий А и В называется событие А \ В, которое происходит
тогда, когда произошло событие А и не произошло событие В.

Для случайного события можно указать некоторую величину, характеризующую возможность появления этого события – его вероятность.