Уравнение Менделеева-Клапейрона — уравнение состояния для

массы т идеального газа:

Если использовать постоянную Больцмана: ,

то уравнение состояния примет вид:

где — концентрация молекул — число молекул в единице

объема.

Таким образом:

1) давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул,

2) при одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул.

Число молекул, содержащихся в 1м³ газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта:

10. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Пусть в сосуде объемом V находится идеальный газ массой m, состоящий из N молекул массой m₀, движущихся с одинаковыми скоростями . Концентрация молекул в газе по определению n = N/V.

Если при соударениях со стенками за время элементарной площадке S стенки сосуда передается импульс Р, то давление газа, оказываемое им

на стенку сосуда .

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно стенке, передает ей импульс 2m₀. В среднем по направлению к стенке движется часть всех молекул. (Если рассмотреть три взаимно перпендикулярные оси, то в среднем только молекул движется вдоль одной из осей и только половина из них ( ) вдоль данного направления.) Поэтому, за время t площадки

S достигнут n S t молекул и передадут ей импульс .

Давление, оказываемое газом на стенку сосуда: .

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями ₁, ₂,..., _N, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость, которая определяется как

и характеризует всю совокупность молекул газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов:


Другие варианты записи этого уравнения с учетом соотношений и m=Nm₀ Здесь Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа, V - молярный объем, — молярная масса.
Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, получим откуда

11. Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа:

где использовано = m₀N_A и k = R/N_A.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа:

Отсюда следует, что = 0 при Т = 0 К — прекращается движение молекул газа.

Молекулярно-кинетическое толкование температуры: термодинамическая температура — есть мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа.

12. 3акон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям.

В газе, находящемся в состоянии равновесия при данной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Это распределение описывается функцией , называемой функцией распределения молекул по скоростям, которая определяет относительное число молекул, скорости

которых лежат в интервале от до , т.е.

Закон Максвелла:

Эта функция удовлетворяет условию нормировки:

Молекулярная физика и термодинамика

13. Наиболее вероятная скорость молекул идеального газа.

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью v_e.

Приравняв нулю, получаем:

С повышением температуры растет.

14. Средняя скорость молекулы газа (средняя арифметическая скорость)

15. Скорости, характеризующие состояние газа.

Наиболее вероятная скорость Средняя скорость Средняя квадратичная скорость

16. Барометрическая формула.

В однородном поле тяготения Земли тепловое движение молекул приводит к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает. Давление на высоте h газа с молярной массой /J.

относительно уровня моря, где давление р₀ считается нормальным, равно

17. Распределение Больцмана.

Используя соотношения p = nkT, µ= m₀N_A,R = kN_A, получаем:

Так как m₀gh= W — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, следовательно:

Такое распределение называют распределением Больцмана (распределение частиц по значениям потенциальнойэнергии) для внешнего потенциального поля.

Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа оолыие там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

18. Средняя длина свободного пробега молекул.

Путь, который в среднем проходят молекулы между двумя последовательными столкновениями называется средней длиной свободного пробега молекул.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d.

Так как за 1с молекула проходит путь, равный средней арифметической скорости , и если — среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1с, то средняя длина свободного пробега

Можно показать, что: , откуда

19. Эксперименты, подтверждающие молекулярно-кинетическую теорию.

Броуновское движение.Любые частицы малых размеров, взвешенные в газе или жидкости, совершают сложное зигзагообразное движение. Броуновское движение взвешенных частиц вызывается ударами молекул среды, в которой частицы взвешены. Подтверждение гипотезы о хаотическом тепловом движении молекул.

2. Опыт Штерна. Два коаксиальных цилиндра синхронно вращаются в вакууме. Атомы серебра, испарясь с проволоки, расположенной вдоль оси внутреннего цилиндра, вылетают через щель и оседают на внутренней стенке наружного цилиндра. Исследуя толщину осажденного слоя, можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.

3. Опыт Ламмерта. Между источником молекулярного пучка и приемником

синхронно вращаются два диска с радиальными щелями. Из числа молекул, пролетевших через первую щель, пролетят через второй диск только те, которые подлетят к нему в тот момент, когда на пути пучка встанет прорезь во втором диске. Изменяя

угловую скорость вращения, можно исследовать распределение молекул по скоростям.

20. Явления переноса.

Явлениями переноса называются необратимые процессы в термодинамически неравновесных системах, в которых происходит пространственный перенос энергии (теплопроводность), массы (диффузия),

импульса (внутреннее трение).

Для простоты ограничимся одномерными случаями, выбрав ось х так, чтобы она была направлена в направлении переноса. Будем рассматривать потоки энергии, вещества и импульса упорядоченного движения частиц через единичную площадку (5 = 1), перпендикулярную оси х, для идеального газа плотностью ρ, у которого

— средняя скорость теплового движения молекул,

— средняя длина свободного пробега.

21. Теплопроводность.

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул — выравнивание температур.

Перенос энергии (в форме теплоты) описывается законом Фурье:

Здесь j_E — плотность теплового потока — тепловая энергия, переносимая в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, λ — коэффициент теплопроводности,

^dT/_dx — градиент температуры — скорость изменения

температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке,

с_v— удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1кг газа на 1К).

22. Диффузия.

Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену частицами (перенос масс) между этими телами, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности.

Перенос массы (диффузия) для химически однородного газа подчиняется закону Фика:

Здесь j_т — плотность потока массы— масса вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, D — коэффициент диффузии,

— градиент плотности, равный скорости изменения

плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке.

23. Внутреннее трение (вязкость).

Вследствие хаотического теплового движения молекул происходит обмен молекулами между слоями газа движущимися с различными скоростями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее — увеличивается (происходит перенос импульса от одного слоя к другому). Это приводит к торможению слоя, движущегося

быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.

Внутреннее трение описывается законом Ньютона: Здесь j — плотность потока импульса — полный

импульс, переносимый в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, η— динамическая вязкость,

— градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев газа.

Внешнее сходство математических выражений, описывающих явления переноса, обусловлено общностью лежащего в основе явлений

теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного

механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения.

Формулы для коэффициентов λ, D и η связывают коэффициенты

переноса и характеристики теплового движения молекул.

Зависимости между λ, D и η:

Основы термодинамики.

24. Внутренняя энергия термодинамической системы.

Внутренняя энергия U — это энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т.д.) и энергия взаимодействия этих частиц.

К внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния системы — в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией.

Поэтому, внутренняя энергия не зависит от того, каким образом система пришла в данное состояние.

При переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода.

25. Число степеней свободы.

Число степеней свободы — это число независимых переменных, полностью определяющих положение системы в пространстве.

Число степеней свободы для идеального газа жестких молекул.

Число степеней свободы Одноатомный газ Двухатомный газ Многоатомный газ

Поступательных

Вращательных —

Всего

В реальных молекулах нет жесткой связи между атомами в молекуле, поэтому необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения атомов внутри молекулы.

Независимо от общего числа степеней свободы молекулы, три степени свободы всегда поступательные. На каждую из них приходится треть кинетической энергии поступательного движения молекулы (ε₀):

26. 3акон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы (закон равнораспределения).

Для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная ^k^Т/₂, а на каждую, колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kТ.

Энергия колебательных степеней свободы вдвое больше, поскольку колебательная система обладает равными по величине средними значениями как кинетической, так и потенциальной энергии.

Таким образом, средняя энергия молекулы, ,

где i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: i = i _пост + i _вращ + 2 • i _колеб. В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы.

В идеальном газе молекулы между собой не взаимодействуют и их потенциальная энергия равна нулю. Поэтому внутренняя энергия одного моля идеального газа и произвольной массы т газа U будут соответственно:

27. Первое начало термодинамики.

Первое начало термодинамики - это закон сохранения и превращения энергии в термодинамических процессах.

Изменить внутреннюю энергию системы можно двумя способами: совершая над системой работу (например, сжимая газ в цилиндре с помощью поршня) или сообщая системе теплоту (например, нагревая газ в герметичном сосуде).

Рассмотрим замкнутую, макроскопически неподвижную систему, не находящуюся во внешних силовых полях и проанализируем с энергетической точки зрения равновесный процесс перехода системы из какого-либо начального состояния 1 в другое состояние 2.

Изменение внутренней энергии системы , в таком процессе равно разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой А, совершенной системой против внешних сил

ΔU = Q-A или Q = ΔU + A