Элементы механики жидкостей

29. Давление в жидкости и газе.

Свойства жидкостей и газов во многом отличаются. Молекулы газа, совершая хаотическое движение, равномерно заполняют весь предоставленный им объем. В жидкостях, в отличие от газов, среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным. Жидкость, сохраняя объем, принимает форму сосуда, в котором она заключена.

Однако в ряде случаев, когда жидкости и газы можно рассматривать как сплошную сред у, их поведение описывается одинаковыми законами - законами гидроаэромеханики. Поэтому пользуются единым термином "жидкость".

В физике используется физическая модель несжимаемой жидкости - жидкости, плотность которой всюду одинакова и не меняется со временем.

На каждый элемент поверхности тела, помещенного в жидкость, со стороны молекул жидкости действует сила ΔF направленная перпендикулярно поверхности.

Давлением жидкости называется физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади:

Единица давления — паскаль (Па). 1Па равен давлению, создаваемому силой 1Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1м² (1 Па= 1 Н/м²).

Давление при равновесии жидкостей или газов подчиняется закону Паскаля: Давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, поэтому свободная поверхность жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда.

Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности ρ вес , а давление на нижнее основание изменяется линейно с высотой:

Давление ρgh называется гидростатическим.

Сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость действует сила, определяемая Законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует со стороны этой жидкости (газа) направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

где ρ — плотность жидкости, V — объем погруженного в жидкость тела.

30. Уравнение неразрывности.

Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости - потоком.

Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока_х которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в данный момент времени.

Линии тока проводятся так, чтобы густота их была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока.

Течение жидкости называется установившимся (или стационарным ), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим трубку тока, выбрав два сечения S₁ и S₂, перпендикулярные направлению скорости. За время Δt через сечение S проходит объем жидкости . Если жидкость несжимаема, то через S₂ за 1с пройдет такой же объем жидкости, что и через S₁:

или — уравнение неразрывности

Произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока.

31. Уравнение Бернулли.

Идеальной жидкостью называется воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения.

В стационарно текущей идеальной жидкости выбираем трубку тока, ограниченную сечениями , и S₂. По закону сохранения энергии изменение полной энергии жидкости массой т в местах сечений , и S₂ равно работе внешних сил по перемещению этой массы жидкости: .

, , , , , , . Отсюда

Согласно уравнению непрерывности, объем, занимаемый жидкостью,

Используя , где ρ —плотность жидкости, получим

— уравнение Бернулли

где р — статическое давление (давление жидкости на поверхности

обтекаемого тела); ρgh — гидростатическое давление; - динамическое давление.

Уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости.

Из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности следует, что при течении жидкости по трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах.

32. Вязкость (внутреннее трение)

Вязкость — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой.

При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев.

Более быстрые слои ускоряют более медленные и наоборот, медленные слои тормозят прилегающие к ним быстрые слои. Градиент скорости показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении x перпендикулярном направлению движения слоёв.

Сила внутреннего трения пропорциональна градиенту скорости и рассматриваемой площади поверхности слоя S:

Коэффициент пропорциональности η, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью ).

Единица вязкости — паскаль-секунда — динамическая вязкость среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем равным 1м/с на 1м, возникает сила внутреннего трения 1Н на 1м² поверхности касания слоев (1Па с=1Н с/м²).

Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем больше силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей η с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения.

33. Два режима течения жидкостей.

Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними.

Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях ее движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние до поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы (рис. (а)).

Течение называется турбулентным (вихревым), если частицы жидкости переходят
из слоя в слой (имеют составляющие скоростей, перпендикулярные течению). Это сопровождается интенсивным перемешиванием жидкости (газа) и вихреобразованием.

Скорость частиц быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, затем изменяется довольно незначительно, вследствие интенсивного перемешивания (рис. (в)).

Количественно переход от одного режима течения к другому характеризуется числом Рейнольдса:

Здесь — кинематическая вязкость;ρ - плотность жидкости; — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы.

При малых значениях числа Рейнольдса () наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000 ≤ Re ≤2000, а при Re=2300 (для гладких труб) течение — турбулентное.

34. Методы определения вязкости

1.Метод Стокса основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

На шарик, плотностью ρ и радиусом r, падающий в жидкости вязкостью η и плотностью ρ' вертикально вниз со скоростью , действуют три силы: сила тяжести , сила Архимеда и сила сопротивления ,при равномерном движении Р - F_A - F = 0, откуда

2. Метод Пуазейля. Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (рис. а).

Сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность этого слоя . При установившемся течении эта сила уравновешивается силой давления, действующей на основание того же цилиндра , откуда После интегрирования с учетом того, что скорость жидкости у стенок равна нулю, получаем .

Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону (рис. а), причем вершина параболы лежит на оси капилляра. За время t из капилляра вытечет жидкость, объем которой

откуда вязкость

Потенциальное поле сил.

Потенциальное поле — поле, в котором работа, совершаемая силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Силы, действующие в таких полях, называются консервативными (например, сила тяготения). Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (например, сила трения).

Работа консервативных (потенциальных) сил при элементарном изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

Поскольку , то , отсюда , где вектор , называется градиентом скаляра W и обозначается . Символ ("набла") обозначает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором (стр. 1-30):

Конкретный вид функции W зависит от характера силового поля.

1) Потенциальная энергия тела массы т на высоте h:

2) Потенциальная энергия упругодеформированного тела.

Поле сил тяготения.

Закон всемирного тяготения. Между любыми двумя материальными
точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратнопропорциональная квадрату расстояния между ними:

где — гравитационная постоянная.

Эта сила называется гравитационной, или силой всемирного тяготения. Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела.

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.

На примере гравитационного поля рассмотрим понятия напряженности поля и потенциала поля.

Напряженность поля тяготения это физическая величина, равная отношению силы, действующей со стороны поля на помещенное в него тело (материальную точку), к массе этого тела. Напряженность является векторной силовой характеристикой поля тяготения.

В гравитационном поле Земли , откуда ,где R₃ — радиус Земли, масса которой М, h — расстояние от центра тяжести тела до поверхности Земли. При перемещении тела массой т на расстояние dR поле тяготения совершает работу (знак минус потому, что сила и перемещение противопараллельны).

При перемещении тела с расстояния до расстояния :

Работа не зависит от траектории перемещения, а определяется только начальным и конечным положениями тела.

Следовательно, силы тяготения консервативны, а поле тяготения является потенциальным. Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии системы с обратным знаком . Поэтому, потенциальная энергия поля сил тяготения:

Для любого потенциального поля можно определить скалярную энергетическую характеристику поля — потенциал.

Потенциалом поля тяготения в данной точке поля называется скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии материальной точки, помещенной в рассматриваемую точку поля, к массе материальной точки:

Рассмотрим связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью:

, или

В общем случае для любого потенциального поля между напряженностью и потенциалом существует связь:

Эта формула является следствием соотношения . Знак минус указывает на то, что вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала.

36. Космические скорости.

Первой космической скоростью называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т.е. превратиться в искусственный спутник Земли.

(2^й закон Ньютона); (R - радиус Земли)
(у поверхности Земли (h —> 0))

Второй космической скоростью называется наименьшая скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца. В этом случае кинетическая энергия тела должна быть равна работе, совершаемой против сил тяготения:

Третьей космической скоростью называется скорость, которую
необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной
системы, преодолев притяжение Солнца: