Элементы специальной теории относительности

37. Преобразования Галилея

В классической механике, при скоростях тел значительно меньших, чем скорость света (υ<<c), справедлив механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами x,y,z), которую будем считать неподвижной, и систему (с координатами x',y',z'), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью

В начальный момент времени начала координат O и этих систем совпадают.

В произвольный момент времени t:

Для произвольной точки А: . Или в проекциях на оси координат:

Эти соотношения называются преобразованиями координат Галилея.

Продифференцировав их по времени, получим правило сложения скоростей в классической механике:

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от
относительного движения систем отсчета, поэтому к преобразованиям Галилея
можно добавить еще одно соотношение: t = t'

Ускорение в системах отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково: . Это и служит доказательством принципа относительности Галилея.

38. Постулаты Эйнштейна.

1) Принцип относительности: никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможность обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к другой.

2) Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

39. Преобразования Лоренца.

Пусть система О' движется относительно системы О со скоростью υ = const, причем (с - скорость света (скорость распространения электромагнитных взаимодействий) в вакууме). Обозначим отношение скоростей υ и с через . Пусть вектор скорости направлен вдоль оси ОХ. Тогда релятивистские преобразования координат и времени будут иметь вид:

, ,

Эти соотношения — преобразования Лоренца υ<<c переходят в преобразования Галилея.

Они устанавливают взаимосвязь пространства и времени — в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространственные координаты.

Следствием этого является тот факт, что если два события в системе О происходят одновременно но в разных точках (), то в системе О' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными.

Пусть в некоторой точке х в системе О происходит событие длительностью , то в системе О' длительность этого же события

Т.о. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальиой системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальиой системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов.

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси и покоящийся относительно системы О'. Его длина в системе О' будет . Чтобы определить длину этого стержня в системе О, относительно которой он движется со скоростью υ, измерим координаты его концов х₁ и х₂ в один и тот де момент времени t.

Размер тела, движущегося относительно инерциальиой системы отсчета, уменьшается в направлении движения, причем лоренцово сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Поперечные размеры теп не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Если материальная точка движется в системе О' вдоль оси х' со скоростью , а сама система О' движется со скоростью и относительно системы О, то релятивистский закон сложения скоростей:

В качестве величины, инвариантной по отношению к преобразованию координат в четырехмерном пространстве Эйнштейна (не зависящей от выбора системы отсчета) вводится интервал между событиями:

где — расстояние между точками обычного трехмерного пространства. Обозначив , получим

40. Основные соотношения релятивистской динамики.

Релятивистская масса m движущихся релятивистских частиц (тел) зависит от их скорости.

— масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той инерциальиой системе отсчета, в которой частица находится в покое.

Релятивистский импульс . Релятивистский импульс системы сохраняется. Закон сохранения релятивистского импульса — следствие однородности пространства.

Основной закон релятивистской динамики:

Законы классической динамики получаются из законов релятивистской динамики в предельном случае υ<<c (или ). Т.о. классическая механика - это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Полная энергия тела массы т:

Соотношение носит универсальный характер, оно применимо ко всем формам энергии, т.е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она не была, связана масса и, наоборот, со всякой массой связана энергия. Покоящееся тело обладает энергией: , называемой энергией покоя.

Полная энергия замкнутой системы сохраняется. Закон сохранения энергии — следствие однородности времени.

Кинетическая энергия:

Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:

Величина является инвариантом системы.

В случае, когда масса покоя частицы равна нулю, то . Следовательно, такая частица может обладать отличными от нуля энергией и импульсом только в том случае, когда она движется со скоростью света. К таким частицам относятся фотоны.

Основной вывод теории относительности — пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи — пространство-время.

Свободные колебания

1. Колебания. Общий подход к изучению колебаний различной физичес­
кой природы.

Колебаниями называются движения или процессы, которые обладают определенной повторяемостью во времени.

Колебания сопровождаются попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии, без дальнейшего внешнего воздействия на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Колебания называются вынужденными, если они происходят под действием периодически изменяющейся внешней силы.

Физическая природа колебаний может быть разной — различают механические, электромагнитные и др. колебания.

Но различные колебательные процессы описываются одинаковыми уравнениями, поэтому целесообразно изучать все колебательные процессы, используя общие свойства колебаний.

2. Гармонические колебания и их характеристики.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса (или косинуса).

Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) могут быть представлены в виде суммы (суперпозиции) гармонических колебаний.

Гармоническое колебание величины s описывается уравнением типа

s = A·cos(ωt +φ)

где:

А - амплитуда колебания — максимальное значение колеблющейся величины;

ω- круговая (циклическая) частота;

φ - начальная фаза колебания в момент времени t=0;

(ωt +φ) - Фаза колебания в момент времени t.

Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может принимать значения от + А до - А.

Поскольку cos(a + 2π) = cos a, то при гармонических колебаниях увеличение (приращение) фазы колебания на 2π приводит к тому, что все величины, характеризующие колебание, принимают исходное значение.

Периодом колебаний T называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются состояния колеблющейся системы (совершается одно полное колебание) и фаза колебания получает приращение 2π

ω(t + T) + φ = (ωt + φ) + 2

Откуда

Частотой колебаний n называется величина обратная периоду колеба­ний — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени

Единица частоты — герц (Гц) — частота периодического процесса, при котором за 1 секунду совершается один цикл колебаний.

3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Первая (скорость) и вторая (ускорение) производные по времени от гармонически колеблющейся величины s также совершают гармонические колебания с той же циклической частотой:

Из последнего уравнения видно, что s удовлетворяет уравнению

или

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармони­ческих колебаний. Его решение:

s = A·cos(ωt + φ).

4. Метод векторных диаграмм.

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды или методом векторных диаграмм.

Из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом φ, равным начальной фазе

колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А, рассматриваемого колебания. Если этот вектор будет вращаться

вокруг точки О с угловой скоростью со, то проекция вектора на ось х будет совершать колебания по закону s = A· cos(ωt + φ).

5. Экспоненциальная форма записи гармонических колебаний.

Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел

где — мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания s = A·cos(ωt +φ) можно записать в комплексной экспоненциальной форме:

 

Физический смысл имеет только вещественная часть комплексной функции , которая и представляет собой гармоническое колебание:

Re( ) = A cos(ωt +φ) = s

6. Механические гармонические колебания.

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические

колебания вдоль оси х около положения равновесия принятого, за начало координат. Тогда для колеблющейся точки

Смещение: х= A·cos(ωt + φ)

Скорость: = = -Аωcos(ωt + φ + )

Ускорение:

a = = =Аω² cos(ωt + φ + )

Амплитуды скорости и ускорения равны Aω и Aω²

 

Фаза скорости отличается от фазы смещения на , а фаза ускорения на .

Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т равна

Таким образом, сила пропорциональна смещению материальной точки и

направлена в сторону, противоположную смещению (к положению равновесия).

Такая зависимость от смещения характерна для упругих сил и поэтому силы,

которые аналогичным образом зависят от смещения, называются

Квазиупругими.

7. Энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания.

Кинетическая энергия материальной точки:

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием квазиупругой силы:

Полная энергия:

остается постоянной, с течением времени происходит только превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

8. Гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, математический и физический маятники и электрический колебательный контур.

9. Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы

F =

где — жесткость пружины.

Уравнение движения маятника

или

Сравнивая это уравнение с уравнением движения

гармонического осциллятора , мы видим, что пружинный маятник совершает колебания по закону с циклической частотой и периодом:

Потенциальная энергия пружинного маятника:

Если на маятник действует сила трения, пропорциональная скорости , где r — коэффициент сопротивления, то колебания маятника будут

затухающими и закон движения маятника будет иметь вид или

10. Математический маятник.

Математическим маятником называется идеализированная система,

состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длинной l, и колеблющейся под действием силы тяжести без трения.

Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой цлинной нити.

При малых углах отклонения а можно считать: x≈lα.

Возвращающая сила:

Уравнение движения:

или

Следовательно, движение математического маятника описывается дифференциальным уравнением гармонических колебаний, то есть происходит по закону х= A·cos(ωt + φ) с частотой и периодом, соответственно:

11. Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

Если физический маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то момент возвращающей силы

С другой стороны, при малых углах

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О,

l - расстояние между точкой подвеса и центром масс С маятника,

— возвращающая сила (со знаком минус, поскольку она всегда направленная противоположно направлению увеличения a).

Следовательно: , или

Таким образом, при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом:

где длина — называется приведенной длиной физического ml маятника.

Приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, который имеет такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника.

Математический маятник можно представить как частный (предельный) случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре

масс. При этом J = ml², следовательно .

12. Сложение гармонических колебаний.

Если система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах, то под сложением колебаний понимают нахождение закона,

описывающего результирующий колебательный

процесс.

Для сложения колебаний х₁ и х₂ , используем метод вращающегося вектора амплитуды (метод векторных диаграмм).

Так как векторы А₁, и А₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ω, то разность фаз между ними остается постоянной. Уравнение результирующего колебания будет

где амплитуда А и начальная фаза φ задаются соотношениями:

где

Сумма двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты есть гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний:

1)

2)

13. Биения.

Биениями называются периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω +Δω, причем Δω <<ω. Путь для простоты начало отсчета выбрано так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

,
Результирующее колебание будет иметь вид:

— гармоническое колебание с частотой ω, амплитуда которого изменяется по
закону с частотой (частота биений вдвое больше частоты изменения косинуса, поскольку берется по модулю).

14. Разложение Фурье.

Любое сложное периодическое колебание S=f(t) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте ω ₀:

Такое представление периодической функции f(t) называется разложением ее в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.

Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами ω ₀, 2ω₀, 3 ω ₀ и т. д., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д., гармониками сложного периодического колебания S=f(t).

Совокупность этих гармоник образует спектр колебания S=f(t).

 

15. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты.

Пусть два гармонических колебания одинаковой частоты ω, происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты выберем начало отсчета так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю:

,

где α- разность фаз колебаний, а А и В — их амплитуды. Уравнение траектории результирующего колебания (исключая t из уравнений) есть уравнение эллипса, произвольно расположенного относительно координатных осей:

и такие колебания называются эллиптически поляризованными.

16. Линейно поляризованные колебания.

Если разность фаз , то эллипс вырождается в отрезок прямой

где знак плюс соответст­вует нулю и четным значениям т, а знак минус — нечетным значениям т.

Результирующее колебание является гармоническим колебанием с

частотой ω и амплитудой и совершается вдоль прямой,

составляющей с осью х угол . Такие колебания

называются линейно поляризованными колебаниями.

 

17. Циркулярно поляризованные колебания.

Если разность фаз , то в данном случае

уравнение траектории принимает вид:

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам А и В.

Если А=В, то эллипс вырождается в окружность, и такие колебания называются циркулярно поляризованными или колебаниями, поляризованными по кругу.

18. Фигуры Лиссажу.

Если взаимно перпендикулярные колебания происходят с циклическими частотам р ω и q ω, где q и р — целые числа:

,

то значения координат х и у одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени Т₀ равные наименьшему общему кратному периодов и колебаний вдоль осей х и у. Траектории замкнутых

кривых, которые получаются в этих случаях, называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рисунке показан вид фигур Лиссажу при трех различных

значениях отношения (2:1, 3:2, 4:3) и разности фаз .