Сначала зададимся вопросом: что такое тип кривой? Мы говорим о кривых одного и того же типа в том случае, если им присущи одни и те же сингулярности, и причем в одинаковом количестве. Всем, изображенным на рис. 29a–f кривым, присущи одни и те же особенности: касательная в точке перегиба w и точка самопересечения D. На рис. 29а это можно увидеть непосредственно. Кривые на рис. 29b–f могут, однако, просто проходить каждая в своей целостности. Необходима некоторая тренировка в том, чтобы распознать их принадлежность к одному и тому же типу. Причина в том, что некоторые элементы кривых (как минимум определенные сингулярности) выступают в роли удаленных элементов. Обозначенные стрелочками направления задают каждый раз две возможности для прохождения кривой. Они задают т.н. направление прохождения и требуют от наблюдателя навыка распознавать целостность кривой, проходящей через бесконечность. Подобный способ рассмотрения подводит к границе начальных имагинативных способностей. Если сравнить эти рассмотрения с наблюдением конфигурации Дезарга, обращает на себя внимание то, что одна и та же конфигурация может рассматриваться различными способами, а у шести различных кривых можно найти одни и те же элементы в измененной форме. Это удается с помощью упомянутой имагинативной способности, которую можно развить на вышеописанном геометрическом пути. Также очевидным является то, что на этом пути развивается способность распознавать типы в растительном и животном мире, а также их систематизировать. Ведь в основе всей эволюции находятся законы математики и геометрии. То, что «боги занимаются геометрией», было известно в древних мистериях. Человек может распознать в себе эту божественную мудрость и научиться с ней обращаться. В связи с этим Рудольф Штайнер написал примечательные строки в письме к графу Польцеру–Ходитцу: «Когда молодой человек изучает математику, в нем рождается божественное дитя». Это божественное дитя, эту чисто имагинативную способность, следует развивать. Но эта присущая чистому математическому мышлению способность может потускнеть или вовсе утратиться, если использовать математику и геометрию, не познавая их чистого источника. Познание самого себя в процессе творческого подражания и освоения этих чистых мыслительных форм относится к центральным задачам духовного самопознания.
| |
| Рисунок 29а | Рисунок 29b |
| 
|
| Рисунок 29c | Рисунок 29d |
| 
|
| Рисунок 29e | Рисунок 29f |
Заключение
Абстрактное рассмотрение целесообразно в том случае, когда требуется детально осмыслить особенности или подробности большого целого: специфическую сингулярность какой-либо кривой, отдельный листок дуба, печень как человеческий орган и т.д. Но при этом всегда следует помнить о том, что таковые детали являются в этом случае изолированными единицами вышестоящего целого. Пространство как идея являет собой пример такого вышестоящего целого. Этот факт можно осмыслить лишь путем пошаговых упражнений. Вот элементарный пример этому:
На концах ограниченного горизонтального отрезка находятся две точки А и В. Прямая g проходит через эти точки, но продолжается направо и налево в бесконечность. При этом точка, двигающаяся налево все более удаляется от точки, смещающейся вправо.
Находящаяся справа, бесконечно удаленная точка F∞ тождественна находящейся слева. Двойная стрелка символически выражает этот факт.
Благодаря проективной геометрии эти на первый взгляд кажущиеся противоположно направленными движения могут рассматриваться как направленные навстречу друг другу. Так как обе двигающиеся точки встречаются в удаленной точке F∞ прямой g. Другими словами: конечный отрезок AB проходит на дневной стороне, а «бесконечный отрезок» AB находится на ночной стороне. Таком образом мы познаем прямую g в целом.
Какое значение для человека может иметь подобное расширение сознания? Ответом на этот вопрос может служить пример из жизни молодого Рудольфа Штайнера:[70]
«...Одно важное переживание пришло ко мне из области математики. Мне доставляло самые большие внутренние сложности представление пространства. Его сложно было мысленно представить как уходящую в бесконечность пустоту, каким его описывали господствующие тогда естественно–научные теории. Благодаря новой (синтетической) геометрии, с которой я познакомился на лекциях и частных уроках, в моей душе родилось представление, что линия, продолженная вправо в бесконечность, возвращается слева к исходной точке. Находящаяся справа бесконечно удаленная точка совпадает с находящейся слева бесконечно удаленной точкой. Мне пришло на ум, что с помощью таких представлений новой геометрии можно достигнуть понятийного познания уходящего в пустоту пространства. Для меня было настоящим откровением представление о возвращающейся к себе, словно линия круга, прямой. Я возвращался с лекции, на которой это представление впервые родилось в моей душе, и чувствовал, будто с меня свалился огромный груз. Меня охватило освобождающее чувство. Опять, как в мои отроческие годы, геометрия одарила меня ощущением счастья...».
